对顶角、余角和补角第二课时教案

第二章

平行线与相交线

1.余角与补角

一、

学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在小学已经接触认识过平行线、相交线，在七年级上学期，已经直观认识了角、平行与垂直。这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。

二、教学任务分析

教学目标是： 1．在具体情境中了解余角与补角，知道余角和补角的性质，通过练习掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。

3．通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。

三、

教学设计分析

本节课设计了八个教学环节：情境引入、探索研究一、小诊所、探索研究二、巩固练习、

游戏时间、课堂小结、布置作业。

第一环节 情境引入

活动内容：搜集生活中常见的图片，让学生从中找出相交线和平行线。 活动注意事项：在每张图片中的相交线与平行线不只是课件中显现出的几条，

在实际教学中可让学生自由寻找，充分发表自己的意见。

第二环节

探索发现

活动内容：参照教材p59光的反射实验提出下列问题：

（1）

模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。

（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。

i 说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。

ii 图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。

iii 图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。

1

活动目的：通过生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，学会余角、补角的概念及其性质。同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力。并在这个过程中，培养学生抽向几何图形进行建模的能力。

第三环节 小诊所

活动内容：判断下列说法是否正确

000（1）30

，70

与80

的和为平角，所以这三个角互余。（ ）

（2）一个角的余角必为锐角。

（ ）

（3）一个角的补角必为钝角。

（ ）

0（4）90

的角为余角。

（ ）

（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）

总结提示：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。

活动目的：以判断题的形式引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解。澄清学生对概念和性质模糊的地方。用温馨提示的方式总结学生易错之处。

第四环节 议一议（探索发现对顶角的概念和性质）

活动内容：参照教材剪子的实验，抽象出几何图形后提出下列问题：

（1）用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？（在复习巩固上面刚刚得出的性质的同时，为下一个问题作好铺垫。）

（2）你能发现这样的两个角有怎样的位置关系吗？（通过学生观察，总结，得出对顶角的概念。）

（3）在图2中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系，你能试着描述一下吗？（总结得出对顶角的性

A O D 第五个环节 牛刀小试

活动内容：回答下列问题

1．你能举出生活中包含对顶角的例子吗？

活动注意事项：本环节的三个问题是由浅入深提出来的。在第1个问题中充分发散学生的思维，让学生举出尽可能多的例子，在这个过程中加深对知识的理解，感受数学知识的无处不在。在第2个问题中，让学生充分说出理由，暴露思维，澄清模糊之处。第3个问题是教材中的议一议，通过一个实际问题，进一步加深学生对知识的理解。此问题解答方法不唯义，应鼓励学生大胆表述自己的意见，说出与他人不同的见解。

B 第六环节 游戏时间

活动内容：通过两个以游戏为背景的题目，进一步拓展思路，加深理解。

1．你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射到室内的光线（图中DO）用平面镜反射到墙上，另一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中OE），平面镜移动，影子也随之移动，这里的∠1=∠2，它们是对顶角吗？∠1和∠BOC呢？你能说出图中与∠1相等和互补的角吗？

第七环节 课堂小结

2

活动内容：师生互相交流本堂课上应该掌握的知识和方法，教师对课堂上发现的学生掌握不好的地方给以强调。

第八个环节 布置作业

活动内容

习题2.1数学理解1，2

四、

教学设计反思

1．阶梯上升，层层递进

教师在教材提供最基本的教学素材的基础上，根据学生的实际情况进行适当调整。环节之间是阶梯上升的，难度逐步加深；每一个环节中的问题之间，也是层层递进，前一个问题的解决都是为下一个知识的学习做好铺垫。使学生感受到一个问题的解决不是学习任务的完成，而是一个新的任务的开始。不断获得新的发现，一直充满挑战的乐趣。

2．创设丰富的问题情景，体现所学内容与现实世界的联系。

立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创设恰当的问题情景，呈现学习内容，使学生经历现实生活中抽象出模型的过程。问题情景的创设，需要教师进行“教学法的加工”和一定程度的创造。既可以充分利用教材的题材，也可以创设更符合学生的现实的、有趣的情景，使学生充分体会数学知识来源于生活又应用于生活。

3．注意改进的方面

在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

第二章

平行线与相交线

2．探索直线平行的条件（一）

一、

学生起点分析：

学生的知识技能基础：学生在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，已经结合丰富的现实情景，直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义，会借助方格纸、利用直尺、三角板用多种方法画平行线，经历了在操作活动中探索图形性质的过程，初步掌握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。

学生的活动经验基础：在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，教材为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、测量、画图、模型操作、拼摆、图案设计等活动，使学生在活动中自觉体会平面图形的性质及位置关系，获得了初步的数学活动经验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，顺利实现中学、小学过渡，以积极的态度投入初中数学的学习，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。

3

二、

教学任务分析：

教学目标是：

1．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。

2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。

4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。

三、

教学设计分析：

本节课共设计了六个环节：巧妙设疑，复习引入、联系实际，积极探索、变式训练，熟练

技能、迁移应用，深化提高、总结反思，情意发展、布置作业，巩固应用。

第一环节：巧妙设疑，复习引入

活动内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课。

问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？

学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置关系有两种，分别是相交和平行”，再进一步针对相交和平行分别提出问题2、3。

问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？

A 借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系，为探索“三线八角”

D 的关系奠定基础。

O B C 问题3：什么叫两条直线平行？

复***行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

问题4：观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？

三组直线看上去似乎不平行，其实它们分别都是平行的，这是由于背景造成的视觉误差，所以按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的，这就需要进一步寻求证据，本节课老师将和同学们一起来——探索直线平行的条件，由此引入新课。

第二环节：联系实际，积极探索

活动内容：

4

1．引入实际问题：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？

学生根据自己的生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。在此基础上提出两个问题：

问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问c 题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。

b 学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，

a 只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b。

问题2：图中的直线b与直线c不垂直，直线a应满足什么条件才能与直线b平行呢？请你利用教具亲自动手操作。

b a 做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠2，

固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它

1 2 与∠1的关系，你发现纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化？纸条a c 何时与纸条b平行？改变图中∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现。

引导学生发现，当图中的∠2满足与∠1相等时，纸条a与纸条b平行。

再利用课件展示，加深学生的认识。

l 2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。

1 C 3 D 如图，直线AB，CD被直线l所截，构成了八个角，具有∠1与∠2 7 5 这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，

B A 4 2 相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。

8 6

问题1：图中还有其他的同位角吗？

问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？

3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。

第三环节：变式训练，熟练技能：

活动内容：

练习1 指出下面点阵中互相平行的线段，并说明理由

（点阵中相邻的四个点构成正方形）。

A C 练习2 如图，∠1=∠2=55°, ∠3等于多少度？直线

E 1 AB、CD平行吗？说明你的理由。

G 3 H

2

F B D

练习3

议一议：你还记得怎样用移动三角板的方法画两条平行线吗？

P 你能用这种方法过已知直线AB外一点P画它的平行线吗？

请说出其中的道理。

A B 活动目的：通过形式不同的三个练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对利用同位角相等判定两直线平行的认识，形成初步技能。练习1利用网格图呈现基本图形，较简单有趣；练习2难度略有加深，直接呈现三线八角的基本图形，引导学生，帮助学.

5

生进一步认识同位角，并判定直线平行；练习3是将上学期所学“推三角板画平行线”的方法与本节课知识相联系，当时学习这种画法的时候，无法给学生说明这样画的道理，留下悬念，学习了本节的知识后，正好为此找到了理论依据。设计成议一议的形式也是为了使学生在实践中学会思考，再利用所得结论来解决新问题：如何过直线外一点画已知直线的平行线？这也是本节课学生要掌握的内容。

第四环节：迁移应用，深化提高：

活动内容：

1．带领学生研究课本66页“数学理解”栏目中的两个实际问题：

问题1：你能用一张不规则的纸（如图）折出两条平行的直线吗？

与同伴说说你的折法。

问题2：如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具，如图2，然后画平行线，你能说明这种工具的用法和其中得道理吗？A （图见教材）

D E 2．如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°, 要使DE∥BC,则∠ADE必须等于多少度？为什么？

B O

C 第五环节：总结反思，情意发展

活动内容：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。

问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？

问题2：本节课你有哪些收获？

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？

第六环节：布置课后作业：

习题2.2知识技能。

四、

教学设计反思

1．以问题为载体给学生提供探索的空间

数学学习的本质是一种思维活动，发展思维能力是培养学生能力的核心，而“学起于思，思起

于疑”，问题是思维的外衣。本节课的每个环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，第一环节以问题作为激活学生思维的刺激因素，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，第二、三环节以问题带领学生探究，寻找规律，第四环节在解决问题的过程中练习、巩固知识，第五环节也是以引领学生反思、总结，整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。所以，合理把握问题教学，是保证学生自主、合作、探究的学习方式向纵深发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标、不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间。

2．为学生提供多维互动交流的舞台

6

儿童深层次的认知发展，既需要独立思考，更需要合作交流。现代认知学派认为，在学习过程中，只有经过学习者自己探索和概括的知识，才能真正纳入其自身认知结构，获得深刻的理解，在应用时才易检索。这里的“自己探索和概括”就是独立思考，学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的，教师应尽可能多地给学生充分自主思考的空间和时间，即使他们找不到思路，也充分感知了困难、尝试了困难，为进一步探究奠定了基础。通过独立思考领会数学学科的基本原理、基本概念和思想方法，掌握解题（包括解决实际问题）的基本方法和策略，并尝试进行数学创造是数学学习的基本方法和策略，所以要重视让学生独立思考。学生在独立思考的基础上进行合作研究，进行生生之间的对话，在合作中发挥个人的自主性，让学生尝试自己证明猜想，引导他们注意力的求异性、思维的发散性，是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，有利于增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，有利于培养自主意识和合作精神。第二章

平行线与相交线

2．探索直线平行的条件（二）

一、

学生起点分析：

学生的知识技能基础：在第一课时的学习中学生已经初步经历了探索直线平行条件的过程，并得到了“同位角相等，两直线平行”的结论，初步具有了利用角的大小关系来判断直线位置关系的意识，认识了三线八角的基本图形，为本节课的继续探究打下基础，因此本课的设计应充分利用学生已有的认知基础，使其成为上节课探究的延续，较好的完成本单元的学习。

学生的活动经验基础：在第一课时的学习中，为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、画图、操作、折纸等活动，认识到了探索直线平行的必要性及基本方法，获得了初步的数学活动经验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。

二、

教学任务分析：

教学目标是：

1．会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。

2．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。

3．经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。

4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系。

三、

教学设计分析：

7

本节课共设计了五个环节：立足基础，温故知新、创设情境，提出问题、大胆探究，各抒己见、及时巩固，深化提高、归纳小结，反思提高。

第一环节：立足基础，温故知新

活动内容：

1．通过以下问题带领学生在复习“三线八角”基本图形和同位角的基础上，进一步学习内错角和同旁内角。

问题1：如图，直线a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？

c 问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？

引导学生从角与截线与被截线的位置关系的角度来描述同位角。

b a 问题3：它们具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？

问题4：图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？∠3与∠6，∠n 4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。

m 由此引导学生概括得出内错角与同旁内角的概念。

2 a 2．巩固练习1：课本随堂练习1：

3 1 观察右图并填空：（1）∠1与

是同位角；

b 5

（2）∠5与

是同旁内角；

4 （3）∠2与

是内错角。

E Ａ

练习2：如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角，

2 1 你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？

3 4

Ｂ

第二环节：创设情境，提出问题

Ｃ

Ｄ

活动内容：

1．

给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否

F

平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是

否平行，你知道他是怎样做的吗？

2．

画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。

设计目的：创设这个情境的目的在于引导学生思考，当用同位角不能直接判断直线是否平行时，应该怎么办？由此激发学生进一步去探索直线平行的条件。教学时教师鼓励学生充分操作和思考，探索还有哪些角可以用来判断直线是否平行。这样设计，使得探索活动成为解决实际问题的需要，进一步渗透数学的应用价值。在解决问题2的过程中，由于有了第一环节的铺垫，学生的探究方向比较明确。

8 7 5 6 第三环节：大胆探究，各抒己见

活动内容：依次完成以下几个步骤，引导学生从实践到理论探索直线平行的条件

1．课本议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？

（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？

请你先独立思考，采用你认为适当的方式来说明理由，然后再与同学交流。

2．观察课件中的三线八角，内错角的变化和同旁内角的变化，得出结论：

8

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

3．挑战自我：你能结合图形用推理的方式来说明以上两个结论成立的理由吗？

c

如图，直线a，b被直线c所截，

a 1 3 当（1）∠1=∠2,（2）∠1+∠3=180°时，说明a∥b的理由。

2 b 活动目的：本环节的教学是重点，鉴于学生在第一课时已有了探究的经验和方法，本课的第一环节又学会了识别内错角和同旁内角，所以将此探究先放给学生。由于探究的方式较多，具有一定的开放性，给学生留有充分的探究空间。本环节选取了课本的议一议，采取的方式是先独立思考、探究，再讨论交流，目的是充分发挥每一个学生的积极性，尽可能的找到多种方法，这样合作交流才有了更充分的内容，才能够互相启发，博采众长。在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论。这样设计，避免了多媒体展示取代学生的思考的弊端。以上探索所运用的是合情推理的方式，作为较高要求，设计了问题3，引导学生用推理的方法来说明理由，目的是逐步渗透推理的意识，教学时可根据学生情况处理。

第四环节：及时巩固，深化提高

活动内容：

1．做一做：三个相同的三角尺拼接成一个图形，

请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。

l 2．图中各角分别满足下列条件时，你能判断哪两条直线平行吗？

m （1）∠1＝∠4；（2）∠2＝∠4；（3）∠1+∠3=180°

n 3．看图填空：

（1）如右图，∵∠1＝∠2

∴

∥

，

∵∠2＝

∴

∥

，同位角相等，两直线平行

∵∠3＋∠4＝180°

∴

∥

，

∴AC∥FG，

（2）如右图，∵∠2=

，

∴DE∥BC

∵∠B＋

＝180°，

∴DB∥EF

9 a 4 2 3 b 1

C

1 A

E

2 D

3 4 F

B

G

A

D

5

B

3 1

2 E

C

4

F

∵∠B＋∠5＝180°

∴

∥

，

。

第五环节：归纳小结，反思提高

活动内容：师生以谈话交流的形式对本节课所学知识进行总结：

到目前为止，我们共学习了几种判断直线平行的方法？它们之间有何区别与联系？

学生可用自己的语言归纳总结本节课的内容，指导学生总结本节课的知识要点：鼓励学生积极发言，在总结过程中，让学生熟记：

①

同位角相等，两直线平行；

②

内错角相等，两直线平行；③

同旁内角互补，两直线平行. 教师要在思想方法方面进一步提升，扩大学生的认知结构，发展能力，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。

布置作业：

课本习题2.3. 四、

教学设计反思：

1．依据学生认知基础，恰当确立教学起点。从课的一开始，教师就为学生营造一个生动活泼、主动求知的学习环境，并从学生的生活出发，以实例引入问题，较好的激发学生的兴趣。充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想，教师以探索任务引导学生自主探究，在经历知识产生和发展的过程中，培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力。

2．整合教材，重视建构完整的知识结构。根据学生实际，为更好的达到本节课的教学目的，在学生的最近发展区内，针对教材内容进行了补充和调整，适当增加教学深度，扩展了学生的知识结构，例如对三线八角的认识、推理能力的初步渗透等，发展了学生的能力，有利于学生对知识的掌握，实现了新课改多维目标的发展。

第二章

平行线与相交线

3．平行线的特征

一、

学生起点分析：

学生的知识技能基础：学生在小学已经学***行线，对其特征有一定的了解。在本章前面几节课中，又学***行线的判定方法，并利用其解决了一些问题；对同位角、内错角、同旁内角的概念及应用有了一定的了解，这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。

二、

教学任务分析：

教学目标是：

1．经历观察、操作、推理、交流等活动，了解平行线的性质，能运用这些性质进

10

行简单的推理或计算。

2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索平行线的特征的过程。

3．通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。

三、

教学设计分析

本节课设计了八个教学环节：复习回顾、情境引入、探究发现、牛刀小试、加深理解、综合应用、颗粒归仓、布置作业。

第一环节：复习回顾

活动内容：复习已学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件。

（1）

∵∠1=∠2 (已知) ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

（2）

∵∠3=∠2 (已知) ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）

（3）

∵∠2+∠4=1800 (已知) ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）

活动目的:本节课所学知识与前一节课的内容有着密切的

联系，两者既有相通之处又有本质的区别。通过复习已学知识，一方面为本节课的学习奠定好基础，另一方面为“对比发现，加深理解”环节作好铺垫。

活动的注意事项：本节课所学平行线的特征与前面两直线平行的条件，学生在应用时非常容易混淆。因此在本环节中，教师就应强调应用的对象。另外，掌握好判定的几何语言描述，学生可以进一步类比，更好地掌握本节课知识。

第二环节：情境引入

活动内容：通过有趣的实际问题，设置悬念，激发学生的求知欲和好奇心，引入新课

如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数。

第三环节：探索发现

活动内容：让学生自行画出符合要求的图形后，提出问题：

（1）合作交流一：请找出图中的同位角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？

（2）合作交流二：请找出图中的内错角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？

（3）图中还有其他位置关系的角吗？它们有何关系呢？说一说你是怎样得到的结论的。

11 a

b

5

1

2

3

4

7

8

6

c

以上问题在经过学生独立思考后，再进行小组讨论，互相补充，并派代表回答。在此处，还利用Z+Z设计了相应的课件，可以使学生进一步通过操作、观察，得出结论。

（4）由师生共同总结平行线的特征和简记。

第四环节：牛刀小试

活动内容：1．完成下列填空

（1）∵

AD//BC (已知) 1 A

∴

∠B=∠1 (两直线平行，同位角相等) （2）∵

AB//CD (已知)

∴

∠D＝∠1 (两直线平行，内错角相等) B （3）∵

AD//BC (已知)

∴

∠C＋∠D＝180 (两直线平行，同旁内角互补)

2．如图所示，AB∥CD，AD∥BC,分别找出与∠ADC A 相等或互补的角。

D 3．解决本课之始的引例问题。

4．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一

直在倾斜，目前，它与地面所成的较小的角为85º

C D B C 第五个环节：对比发现，加深理解

活动内容：填写下列表格，并思考二者有何区别和联系：

平行线的特征

直线平行的条件

师生共同总结：

特征

同位角相等

两直线平行

内错角相等

条件

同旁内角互补

活动目的：对比平行线的特征和直线平行的条件，发现其区别和联系，加深理解。

活动注意事项：此处要给学生充分的时间去独立思考，鼓励学生从多个侧面来考虑问题。培养学生观察、分析、对比以及条理的表达自己思维过程的能力。对于学生合理的回答，教师都应给予积极的肯定。

C

D

A

F

第六个环节：综合应用

活动内容：1．如图所示，一束平行光线AB

12 1 B

2 B

3 E

4 E

与DE 射 向一个水平镜面后被反射，此时∠1= ∠2，∠3=∠4。

（1）

∠1 ，∠3的大小有什么关系？ ∠ 2与∠4呢？

（2）反射光线BC与EF也平行吗？

2．潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后，

∠1=∠2，∠3=∠4。你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？

第七个环节：颗粒归仓

活动内容：师生交流共同总结本节课所学的知识

1．平行线的三个特征

2．直线平行的特征与直线平行的条件的区别。

（1）识别与特征的条件与结论有什么关系？

（2）使用识别时是已知

___，说明

使用特征时是已知

，说明_____________

3．几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式，学习合情说理。

第八个环节：布置作业

活动内容：1．教材

2．思维拓展：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下列问题：

（1）如图（1）所示，

AB∥ED，

BC∥EF，那么∠B与∠E的

关系是______ （2）如图（2），AB∥ED，

BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是_________

总结上面的结论是________________________________

A

D

B

E

图(1)C

F

F

图(2)B

A

D

C

E

四、

教学设计反思

13

1．加强与生活的联系

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。在本节课中，适当的增加了与生活紧密联系的问题，让学生在用中学，充分体会数学与生活的紧密联系。

2．充分挖掘知识内涵，使学生体会数学知识及间的密切联系

在教学中，有意识、有计划的设计教学活动，引导学生体会平行线特征与两直线平的条件之间的联系与区别，感受数学的整体性,不断丰富学生的解题策略，提高解决问题的能力。

3．需要注意的地方

（1）在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

（2）本课设计的内容较为丰富，在实际使用时，可根据教学班的实际情况进行选取。

第二章

平行线与相交线

4．用尺规作线段和角（一）

二、

学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级上册的学习中，教材已经介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、

教学任务分析

教学目标是：

1．会利用尺规作一条线段等于已知线段，并能了解尺规作图中的简单应用。

2．能利用尺规作线段的和、差。

3．能够通过尺规设计并绘制简单的图案。

4．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。

四、

教学设计分析

本节课设计了六个教学环节：情境引入，作一条线段等于已知线段，巩固应用，线段的和、差，课堂小结，布置作业。

14

第一环节 情境引入

活动内容：读一读

尺规作图有着悠久的历史。直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧。利用尺规可以作出许多美丽的图案。

在“数学王子”高斯的纪念碑上，就刻着一个正十七边形，

它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的。

活动目的：通过介绍尺规作图的意义和历史，使学生了解直尺和圆规的作用，引入课题，并激发学生的学习兴趣。

实际教学效果：学生直接明确了本节课的主题，同时当提到“数学王子”高斯时，学生的学习兴趣立即被调动了起来，并且看到图案有主动去探索描绘的意愿，学生的学习积极性和主动性被很好的调动了起来。

第二环节 作一条线段等于已知线段

活动内容：利用没有刻度的直尺和圆规可以作出很多几何图形，你还记得我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？

已知:线段AB

A

B 求作:线段A′B′,使得A′B′=AB.

作法

（1）

作射线A′C′；

（2）以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′。A′B′就是所作的线段。

示范

A′

C′

A′

B′

C′

C第三环节 巩固应用

活动内容：1. 做一做（教材p74）

如右图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。 a （1）利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA’，OB’，

OC’，OD’，使它们分别与线段a 相等。

(2) 依次连接A’，C’

，B’，D’，A’. 你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。

15 AOBD

2. 用心想一想，马到成功（教材p75随堂练习）

如图，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O．

利用尺规，按下列要求作图：

（1）在射线OA ， OB ， OC上作线段O A’，OB’

，OC’，使它们分别与线段a 相等；

(2) 在射线OD上作线段OD’，使OD’

等于b；

A(3) 依次连接A’，C’，B’，D’，A’. 你得到了一个怎样的图形？

与同伴进行交流．

C3. 教材题变形，拓展延伸

如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。

(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’

O等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。

A(2) 依次连接A’，C’

，B’，D’，A’. 你得到了一个怎样的图形？

D与同伴进行交流。

COBDB第四环节 线段的和、差

活动内容：已知线段a，b，求作线段c=a+b 能否作线段c = a – b ？

第五环节 课堂小结

活动内容：1. 本节课主要学习了用无刻度的直尺和圆规作一线段等于已知线段, 看似简单, 它却是最基本的几何作图的方法. 2. 课外还要加强基本作图工具的使用, 特别是圆规的使用要领与技巧要勤加操练. 3. 练习中还要注意几何语言表述的规范、书写格式的规范训练． 第六环节 布置作业

教材习题2.5

五、

教学设计反思

1．要创造性地使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在七年级上就已经学过作一条线段等于已知线段，而且相对难度不大，因此没有必要再以新授课的方式来讲解如何作图。通过学生自己的回顾来获得新知，并在此基础上提出进一步的要求，学生的主体作用充分得以体现，学习的积极性在课堂开始就被充分的调动起来，对于后面内容的开展起到了很好的作用。同时对于有关线段和、差部分内容的补充也是有必要的，对于后面知识的学习起到了铺垫的作用，同时也适合北师大教材螺旋上升的特点。

2．相信学生能力，给学生充分展示的平台。

本节课当中学生动手操作和语言表达的机会非常多，如果教师只是在一味的教给学

16

生作图的过程，按照要求说作法，就剥夺了学生学习的主体地位，同时学生只是一味的被动接受，学习兴趣也不浓厚。而通过学生之间的交流合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区和不严密的地方，以便指导教学，更加的具有针对性，同时也能大大的提高课堂的效率。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

4．用尺规作线段和角（二）

六、

学生起点分析

学生的知识技能基础：学生通过上节课的学习，已经掌握了如何用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段。同时在学习中学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。

七、

教学任务分析

教学目标是：

1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2．能利用尺规作角的和、差、倍。

3．能够通过尺规设计并绘制简单的图案。

4．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。

八、

教学设计分析

本节课设计了七个教学环节：回顾与思考，情境引入探索发现，用尺规作一个角等于已知角，角的和、差、倍，课堂小结，布置作业、图案设计。

第一环节 回顾与思考

活动内容：1. 怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段? 2. 练习：已知线段a,b,c,作一条线段m,使得m=a+b-c

abc

活动目的：通过回顾上节课学习的用尺规作线段，既达到了复习巩固，反馈落实

17

的目的，同时熟练尺规的使用，积累活动经验，也为后面学习用尺规作角起到了铺垫的作用。

活动注意事项：通过课堂提问引起学生对上节课所学知识的回顾，对已学知识得以巩固落实，同时通过一个练习落实到学生的实际动手操作上，适合七年级学生的心理特征，可以调动学生的学习积极性，为后面的学习奠定了良好的基础。

第二环节 情境引入探索发现

活动内容：如图2—14，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。

（1）

请过C点画出与AB平行的另一边。

（2）

如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？ 活动目的：教科书创设了“作一个角等于已知角”的情境，将平行线的识别与作角的问题比较自然地联系在了一起。其中，要在长方形木板上截一个平行四边形，按图2-14的方式（平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上），只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可。而要过点C作AB的平行线，可以通过作一个角等于∠BAC得到。

活动注意事项：创设问题情境，用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线。既完成了第一个问题，同时在问题解决的过程中使得学生体会到用尺规(无刻度的直尺和圆规)“过直线外一点作已知直线的平行线”相当于“过点C作∠ECD等于已知角∠BAC.”同时也为下一个环节的引入起到铺垫作用，新知识引入水到渠成。

第三环节 用尺规作一个角等于已知角

活动内容：1. 已知：

∠AOB。

求作：

∠A’O’B’

使∠A’O’B’=∠AOB。

作法与示范：

作法

（1）作射线O’A’

示范

O'A'

18

（2）以点O为圆心，以

任意长为半径画弧，

交OA于点C，交OB O于点D；

（3）以点O’为圆心，以

OC长为半径画弧，

交O’A’于点C’；

O（4）以点C’为圆心，以

CD长为半径画弧，

交前面的弧于点D’；

（5）过点D’作射线

O'B’。∠A'O'B' 就是所求作的角。

OBDCAO'A'

BDCBDOCAO'D'C'A'

AO'C'B'D'A'

BD

2. 请用没有刻度的直尺和圆规,在课本的图2-14 中, 过点C作AB的平行线. CAO'C'A'第四环节 角的和、差、倍

活动内容：

1. 已知：

∠AOB。

利用尺规作：

∠A’O’B’ ,使∠A’O’B’=2∠AOB。

2. 已知：

∠1，

∠2 求作：

∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2 3. 已知：

∠1，

∠2 求作：

∠AOB，使得∠AOB= ∠1-∠2 第五环节 课堂小结

活动内容：1.用尺规作一个角等于已知角。

2.用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍。

3.借助于已经学的用尺规作线段和角来设计图案。

第六环节 布置作业

教材习题2.6。

第七环节 图案设计

活动内容：用尺规作下面的图形：

19

活动目的：通过两个图案设计，一个是让学生独立思考，借助于已经学习的用尺规作线段和角来完成，对本节课的知识进一步巩固应用；另一个是让学生根据作图步骤借助于尺规完成图案，进一步培养学生几何语言表达能力，并积累尺规作图的活动经验。

活动注意事项：根据课堂时间安排，可灵活进行处理，既可以作为本节课的实际应用，也可以作为课下的联系拓广，从而使得不同层次的学生都学到有价值的数学。

九、

教学设计反思

1．利用现实情景引入新课，既能体现数学知识与客观世界的良好结合，又能唤起学生的求知欲望和探求意识。而在了解基础知识以后，将其进行一定的升华，也能使学生明白学以致用的道理、体会知识的渐进发展过程，增强思维能力的培养。同时，在整个探究过程中，怎样团结协作、如何共同寻找解题的突破口，也是学生逐步提高的一个途径。

2. 虽然在教材当中只是提出了如何用尺规来作一个角等于已知角，但是对于教材的适当补充和拓展是十分有必要。教材只是为教师提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当的调整，要学会创造性的使用教材。对于本节课有关角的和、差、倍的补充，既是对于学生知识的补充，也是对于学生活动经验进一步积累的一种提高。教学中除了要关注本节课的教学目标，同时还应注意本节课在学生整个学习当中的长远目标。刚刚开始学习尺规作图，语言的到位，作图的规范，对于学生今后的学习是至关重要的。

第二章

平行线与相交线

回顾与思考

一、

学生起点分析：

积极因素：学生已经完成了平行线与相交线有关的知识学习，并能初步应用这些知识解决一些简单的问题；在相关知识的学习过程中，学生通过教科书提供的多种活动能够进行一定的几何表达。

消极因素：本章的内容较抽象，而学生的有条理的思考及观察、概括、表达能力还比较薄弱，不能很好的用语言表述理由，对知识之间的联系理解还比较肤浅，从而易造成概念模糊，理解不深透；特别是对于“三线八角”的理解。

20

二、

教学任务分析

本课的具体学习任务：

1．掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综合运用这些知识解决相关的问题。

2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，进一步认识平行线和相交线。

3．在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。

三、

教学设计分析

本节课按知识点分类设计了八个教学环节：课前准备、知识梳理、活动单元一、活动单元二、活动单元三、综合提高、课堂小结、布置作业。

第一环节 课前准备

活动内容：（1）

让学生课前独立回顾所学内容，并尝试回答教科书提出的问题。在独立思考的基础上，开展小组交流和自评活动，并让学生自己尝试着建立知识框架图。（2）对于在复习中出现的困惑的问题，进行记录并与同学进行交流。对于无法解决的问题，可以课堂上师生共同探讨

第二环节 知识梳理

请同学们展示自己的知识网络图，开展小组交流和全班交流，使学生在反思和交流的过程中逐渐建立完整的知识体系，师生共同总结，完成活动单元一。

平面内两条直线的位置关系

相交线

平行线

两线四角

三线八角

平行公理及推论

平对垂平斜内同行顶线行线错旁线角及线角内第三环节：活动单元一-----相交线

的性的角1．

如图1，直线

性质AB，CD，EF相交于O，∠AOE的对顶角判质定， 是 ，邻补角是 ，∠COF的对顶角是

21

邻补角是 。

2．如图2，∠BDE的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE与∠DGC是直线 被 所截

成的 角。

3．如图3，三条直线a，b，c交于一点O，∠1=45°，∠2=60°，∠3= 。

4．如图4，∠1=105°，∠2=95°，∠3=105°，∠4= 。

5．当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线 ，它们的交点叫做 。

第四环节：活动单元二-----平行线

1．填写下列表格，并思考二者有何区别和练习：

平行线的特征

直线平行的条件

两直线平行，同位角相等

同位角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等

内错角相等，两直线平行

两直线平行，同旁内角互补

同旁内角互补，两直线平行

（1）如图，∵AC∥ED（已知）

∴∠A=_________（

）

（2）如图，∵AC∥ED（已知）

∴∠EDF=_________（

）

（3）如图，∵AB∥FD（已知）

∴∠A+_______ =1800（

）

（4）如图，∵AB∥FD（已知）

∴∠EDF+______=1800（

）

AEFDEFB1~4题图DCABC第5题22

（5）如图，∵BD∥EC（已知）

∴∠DBA=_________（

）

∵∠C=∠D

（已知）

∴∠DBA=_________（

）

∴FD∥________（

）

∴∠A=∠F

（

）

（6）如图，AB∥CD ,EG平分∠BEF , ∠EFG=500 ，

∠EGF=____

（7）如图，DC∥AB ,E为AB上一点，AD∥EC，∠A=700，

∠ECB=400，∠BCD=______ E（8）如图，

AB∥CD , EG⊥

AB于G , ∠CFK=500

，∠E=_____

AEDBCACHGF第八题BDCFG第六题DA第七题EB2．思维拓广：已知AB∥CD，E为平面内一点（E不在AB和CD上），连接AE，CE，探索∠E与∠A，∠C之间的关系。

3．中考链接：如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐过的角A是1200，第二次拐过的角B是1500，那么第三次拐过的角C是多少度时，恰好能使拐弯后的道路和拐弯前的道路平行？为什么？

第五环节：活动单元三-----尺规作图

活动内容:（操作与解释）如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一定平行吗？

ABD12ECF第六环节：综合提高

1有一条长方形纸带，按如图所示沿AB折叠时，当∠1=30°求纸带重叠部分中∠CAB的度数。

第七环节：课堂小结

活动内容:

师生交流共同总结本节课所学的知识

第八环节：布置作业

．复习题。

四、

教学设计反思

1．有意识地培养学生有条例的思考和表达。

23

对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排．本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”．因此本节复习课，采用了用语言叙述的方式进行“说理”，各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续．因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等．总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急。

2．注重对“基础知识”的理解和“基本技能”的掌握，注重对学生创新能力的培养。

本节课通过设置反馈练习来巩固两条直线的位置关系、平行公理及平行线的画法等基础知识和基本技能，为以后的学习打下基础。同时通过设置探究题来培养学生的实践能力和创新能力。本节课整体上采取阶梯式的实际方法。从整节课而言，由易到难；而每一个环节的设计也遵循这个规律。在复习课中又有新的知识和方法的收获，使学生有一种不断攀登，不断进步之感。 3．需要注意的地方

（1）在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

（2）本课设计的内容较为丰富，在实际使用时，可根据教学班的实际情况进行选取。解题之后要进行反思——改变命题的条件，或将命题的条件和结论互换，或将图形进行变化，会有什么结果？这样可以培养发散思维能力，提高应变能力

24