习题2.1教学设计一等奖

2.1《指数与指数函数习题课》教学设计

郑州市第二十中学 周赛霞

一、设计特色

本节课主要采用小组合作讨论方法授课，通过在黑板上画一棵苹果树，十个树枝代表十个学习小组，学习小组每回答对一个问题就给苹果树上该小组代表的树枝上贴一个苹果样的便利贴，同时奖励该小组一个彩色气球，最后课结束时看同学们的苹果树结了多少果实，苹果树最后会变成什么样子?从而激发同学们的好奇心和兴趣，同时也体现了一定的竞争性，增强同学们团结协作的能力。

二、教材及学情分析: 高一新生在入学后经过前一阶段的学习，了解了集合与函数的概念以及函数的基本性质，知道研究函数要从定义域，对应关系，值域，单调性，奇偶性，周期性等几方面研究之后，在本章将要学习几个基本的初等函数，本节是在学生学习了指数与指数幂的运算之后，知道当底数大于0时，可将指数的取值范围从整数推广到了实数，从而建立了函数关系，本节指数函数及其性质的学习又为后面对数及对数函数的学习打下了基础。本节是指数函数及其性质的第一课时。

三. 教学目标：

1．知识与技能

（1）了解指数函数模型的实际背景，从实际问题引出指数函数。

（2）理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象。

（3）通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质，并掌握其性质。

（4）能在实际环境中，根据不同的需要和条件，选择恰当的方法，运用指数函数的图象与性质解决实际问题。

2．过程与方法

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（1）培养学生数学与实际问题相结合的能力。

（2）通过探究、思考，培养学生理性思维能力，观察能力以及分析问题的能力。

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等。

3．

情感、态度、价值观

（1）通过将数学与实际问题结合，提高学生的学习兴趣。

（2）通过老师与学生，学生与学生的相互交流，培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识。

（3）通过现代信息技术的合理应用，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合，分类讨论等数学思想的进一步认识。

四．重、难点

重点：理解指数函数的定义，图象与性质。

难点：用数形结合的方法从特殊到一般地探索、概括指数函数的性质。

五、教法：观察法、讲授法及小组合作讨论法. 六、教具：苹果样便利贴，彩色气球，多媒体等.

七．教学过程：

1. 情境设置

实例1:当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获t15730得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系:

p()(t0)

2实例2：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？

细胞个数y与细胞分裂次数x的函数关系式是：

y2实例3：庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

一尺长的棍子，第一天剪掉其一半，第二天剪掉其剩余的一半……，若设剪了第

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x(xN)

x次后剩余棍子的长度为y米，试写出y和x之间的关系

木棒长度y与经历天数x的关系式是: 1xy()(xN)21t1573015730分析:把P=[()]变成P[()]t，从而得出这几个关系式中的底数是一个22正数，自变量为指数，即都可以用yax（a＞0且a≠1来表示）.

2．讲授新课

（1）.指数函数的定义

一般地，函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 指数函数的特点：（1）指数是自变量，底数是常量（2）函数的系数为1（3）自变量的系数也为1（4）底数为正常数且不为1（5）不能有常数项

(小组讨论派代表发言）

规定底数a>0且不等于1的理由：

x0时，ax恒等于0；

1.a0,{x0时，ax无意义x

2.a0,比如y(4),对x11,x......,(4)x都无意义

423.a1,对于任何实数x,y=1x1是常量，就没有研究的价值

(小组讨论派代表发言）

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）y2x2 （2）y(2)x （3）y2x

（4）yx （5）yx2 （6）y4x2

（7）yxx （8）y(a1)x （a＞1，且a2）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，只有满足yax(a0,且a1)的形式才能称为指数函第

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数，a为常数,象y=2-3,y=2,yxx,y3x5,y3x1等等,不符合x1xyax(a0且a1)的形式,所以不是指数函数.

(2).通过指数函数图象数形结合来研究指数函数性质

先来研究a＞1的情况

用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y2x的图象

x

y2x

3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

1

8

14

12

1

2

4

1再研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数y()x的图象.

2x

2.502.001.501.000.001.001.502.002.501y()x

2

14

12

1

2

4

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1从图中我们看出y2x与y()x的图象有什么关系?

21通过图象看出y2x与y()x的图象关于y轴对称,实质是y2x上的21点(-x,y)与y=()x上点(-x,y)关于y轴对称.

21上述性质推广到一般的指数函数yax与y()x（a0,a1）。

a（小组合作讨论）

尝试从定义域，对应关系，值域，定点，单调性，奇偶性等几个方面探究指数函数性质

函数

图象

yax

(0a1)

yax(a1)

定义域

值域

R

R

(0,)

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性质

（1）过定点（0，1），即x=0时,y=1 （2）在R上是减函数

（2）在R上是增函数

(3)当x>0时，y>1, 当x<0时,0

(3)当x>0时, 01.

11利用电脑软件画出y2x,y3x,y()x,y()x的函数图象. 23

x1f(x)3f(x)3x1f(x)2xf(x)2xx 通过观察函数图像，你还能得到那些结论？（学生思考，分组讨论，代表尝试说出所得结论）

提示学生底数a的取值不但影响指数函数yax(a0,且a1)的单调性，还影响函数递增或递减的速度。

结论：一般地，对于指数函数yax(a1)，当底数越大，函数递增的速度越第

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快，对于指数函数yax

(0a1)，当底数越小时，函数递减的速度越快。

图象特征

函数性质

0＜a＜1 a＞1 a＞1 函数的定义域为R 非奇非偶函数

函数的值域为R+ a0=1 0＜a＜1 向x轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右，

图象逐渐上升

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1

口诀：

自左向右，

图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 增函数

减函数

x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1 x＜0，ax＜1 x＜0，ax＞1 左右无限上冲天，永与横轴不沾边。大1增，小1减，图象横过（0,1）点

（3）例题：（小组派代表板书）

例题:比较下列各组数的大小：（看谁反应快，小组抢答）

（1）1.72.5和1.73

（2）0.80.1和0.80.2

（3）1.70.3和0.93.1

解：（1）1.72.51.73

（2）0.80.10.80.2

1.7010.900.93.1

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（3）1.70.3

（小组派代表板书）

（4）.课堂练习：课本P58页练习题2（1），（2）

1补充练习：1、函数f(x)()x的定义域和值域分别是多少?

2 2、当x[1,1]时,函数f(x)3x2的值域是多少?

解（1）xR,y0

5 （2）（－，１）

33．归纳小结

（1）. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义

指数函数的图象及性质

(2).如何记忆函数的性质?

八.布置作业：（看谁做的好）

课本P59页习题2．1 A组第5题，第6题，第7题的（1），（2）

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