习题2.3教学设计第一课时

幂函数

教学目标：

㈠知识和技能

1．了解幂函数的概念，会画幂函数12yx,yx,yx，yx，yx123的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．了解几个常见的幂函数的性质。

㈡过程与方法

1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

2．使学生进一步体会数形结合的思想。

㈢情感、态度与价值观

1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点

常见幂函数的概念和性质

教学难点

幂函数的单调性与幂指数的关系

教学过程

一、创设情景，引入新课

问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数。

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积Va,这里V是a的函数。

问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长aS123,这里a是S的函数

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度Vt1km/s，这里v是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)。这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）

二、新课讲解

（一）幂函数的概念

如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？刚才我们这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？

幂函数的定义：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数。

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数

对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

试一试：判断下列函数那些是幂函数

（1）y0.2x

（2）yx

（3）yx3

（4）yx2

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）

15（二）几个常见幂函数的图象和性质

12在初中我们已经学习了幂函数yx,,yx,yx的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数yx,yx的图象吗？

【探究二】观察函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，将你发现的结论写在下表内。

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

122312312yx

yx

2yx

3yx

2yx1

3y=x

0图象范围

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：yx,yx,yx,yx的共同性质。

（1）

函数yx,yx2,yx3,yx的图象都过点(1,1),(0,0)

（2）

函数yx,yx,yx,yx在0,上单调递增；

23请同学们模仿我们探究幂函数yx0的图象的基本特征来探讨0时的图象基本121212特征。

归纳：幂函数yx图象的基本特征是：



（一）幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

（二）当0时，图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间0,上是单调增函数。

（三）当0时，图象过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0,)上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

（四）当α=0时，y=x的图像是直线y=1且去掉一点（0,1）。

0（三）例题剖析

【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。

（1）

yx（2）yx2332

（3）yx2

分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？

方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。

（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；

（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

（3）0的0次幂没有意义；

（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；

求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。

归纳分析如何判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）

【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

(1) 3.14________ (2)(0.38)3________0.39

3121210.2510.27____________()

33分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

11(3)1.25__________1.22 (4)()三、课堂小结

1、

幂函数的概念及其指数函数表达式的区别

2、

常见幂函数的图象和幂函数的性质。

四、布置作业:课本第73页习题2.3第1、2、3题