习题2.2PPT专用课堂实录内容

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2．2．2（3）对数函数及其性质（教学设计）

（内容：指数函数与对数函数的关系）

教学目的：

⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；

⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系；

⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系．

教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数．

教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系．

教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

1、指数函数与对数函数对照表

一般形式

指数函数

对数函数

yax(a0，且a1)

ylogax(a0，且a1)

图象

定义域

值域

(,)

(0,)

(0,)

当a1时，

当a1时，

(,)

函

数

值

变

化

情

况

ax1,x0,xa1,x0,

ax1,x0.当0a1时，

logax0,x1,logax0,x1,

logx0,x1.a当0a1时，

ax1,x0,xa1,x0,

ax1,x0.a1时，yax是增函数；

logax0,x1,logax0,x1,

logx0,x1.aa1时，ylogax是增函数；

0a1时，ylogax是减函数

单调性

0a1时，yax是减函数

图象

x函数ya的图象与函数ylogax的图象关于直线yx对称．

从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．

二、师生互动，新课讲解：

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例1：在同一坐标系中，作出函数y2x与ylog2x的图象,并观察两图象之间有何关系。

变式训练1：在同一坐标系中，作出函数y()与ylog1x的图象，并观察两图象之间有何关系。

212x

2、反函数：

问1：在指数函数y2x中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？

答1：由指数式y2可得对数式xlog2y．这样，对于任意一个y(0,)，通过式子xlog2y，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

问2：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？

答2：指数函数y2x中，x为自变量(xR)，y是x的函数(y(0,))，并且它是x(,)上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与y2x的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个y(0,)，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

x问3：这时我们称函数xlog2y(yR)是函数y2(xR)的反函数．

请同学们考虑，在函数xlog2y中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？

答3：在函数xlog2y中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．

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问4：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数xlog2y中的字母x，y，把它写成ylog2x．于是，对数函数ylog2x(x(0,))是指数函数y2x(xR)的反函数．

请同学们仿照上面的过程，说明对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)之间的关系．

答4：（探究、讨论得出结论）对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)互为反函数．

问5：对于具体的指数函数yax(a0，且a1)，我们可以怎样得到它的反函数呢？

答5：对于具体的指数函数yax(a0，且a1)，我们可以先把它化为对数形式xlog2y，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数ylogax(a0，且a1)．

问6：请同学们观察一下对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)的定义域和值域，你能得出什么结论？

答6：指数函数yax(a0，且a1)的定义域和值域分别是对数函数ylogax(a0，且a1)的值域和定义域．

问7：请同学们观察对数函数ylog2x(x(0,))是指数函数y2x(xR)的图象，它们有什么关系呢？

答7：（观察得）对数函数ylog2x(x(0,))是指数函数y2x(xR)的图象关于直线yx对称．

小结：对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称．两函数互为反函数。

例2：求下列函数的反函数：

（1）y=3

；（2）y=lnx ；（3）y=x1；（4）yx

x小结：求函数的反函数的步骤：

（1）求定义；（2）反解；（3）互换

性质：反函数的定义域就是原函数的值域。

变式训练2：求下列函数的反函数：

（1）

y=x+1；（2）y=e；(3)y=log2(x1)

例3：作出下列函数的图象：

（1）y=|lgx|

；（2）y=lg|x| 变式训练3：作出下列函数的图象：

(1)y=|log1x|；（2）y=ln|x|；(3)y=2

2|x|x例4：解下列不等式：

（1）log1(2x1)0；（2）log1(2x1)0；（3）log1(2x1)0；（4）log2(xx)1

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（5）log2(x2x)1

变式训练：解下列不等式：

（1）log2(x22x)3；（2）log2(x24x)5；（3）log1(x22x)1

3

三、课堂小结，巩固反思：

1、指数函数与对数函数互为反函数。

2、互为反函数的两图象关于y=x对称。

3、用“同底化”法解指对数不等式。

4、重视分类讨论的数学思想。

四、布置作业：

A组：

1、在同一坐标系中，作出函数y=lgx与y10x的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。

2、求下列函数的反函数

x-1（1）y=2x+3；（2）y=ln(x+1)；（3）y=10

3、解下列不等式：

（1）lg(x3x)1

；（2）log1(x28x)2；（3）log1(1)1；

3221x

4、判断下列函数的奇偶性

（1）ylog3

B组：

1x|x|；（2）y=loga|x|；（3）y=2

1x3<1，则实数a的取值范围是（D）。

43333（A）0或01 44441、(tb0218719)若a>0且a1，且loga2ylog(xx1)(xR)的奇偶性为[ ] 22、函数A．奇函数而非偶函数

B．偶函数而非奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数

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