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高一数学必修1各章知识点总结

第一章

集合与函数概念

一、集合有关概念

1.

集合的含义

2.

集合的中元素的三个特性：

(1)

元素的确定性如：世界上最高的山

(2)

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)

元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)

集合的表示方法：列举法与描述法。



注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）

记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）

列举法：{a,b,c……} 2）

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）

Venn图: 4、集合的分类：

(1)

有限集 含有有限个元素的集合

(2)

无限集 含有无限个元素的集合

2(3)

空集 不含任何元素的集合

例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

B或BA 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 2实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①

任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④

如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，

空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集

三、集合的运算

运算类型

交 集

并 集

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB补 集

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

B(或定 由所有属于A且属义

于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读

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作‘A交B’），即（读作‘A并B’），记作CSA，即

AB=｛x|xA，且即AB ={x|xA，xB｝．

或xB})．

CSA={x|xS,且xA}

韦

恩

ABABS 图

A

示

图1

图2

性 AA=A AA=A (CuA)  (CuB)

AΦ=Φ

AΦ=A = Cu (AB)

AB=BA AB=BA

ABA ABＡ

(CuA)  (CuB) 质

ABB ABB = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 . 4.设集合A=x1x2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数

y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数

y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法

A、

描点法：

B、

图象变换法

常用变换方法有三种

1)

平移变换

2)

伸缩变换

3)

对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

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＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）

图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1

任取x1，x2∈D，且x1

○2

作差f(x1)－f(x2)；

○3

变形（通常是因式分解和配方）；

○4

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5

下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

○(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是○偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：

1)

凑配法

2)

待定系数法

3)

换元法

4)

消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2

利用图象求函数的最大（小）值

○

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3

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

○如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴yx12 x22x15 ⑵y1()x1x332.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是 x2(x1)4.函数f(x)x2(1x2)

，若f(x)3，则x= 2x(x2)5.求下列函数的值域：

⑴yx22x3

(xR) ⑵yx22x3

x[1,2]

(3)yx12x (4)yx24x5

6.已知函数f(x1)x24x，求函数f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间：

⑴

yx22x3 ⑵yx22x3 ⑶

yx26x1

10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．

11.设函数f(x)1x判断它的奇偶性并且求证：f(1)f(x)．

1x2x

第二章

基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，*且n∈N．



负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。

当n是奇数时，nana，当n是偶数时，na|a|nn2a(a0)

a(a0)2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

anam(a0,m,nN*,n1)mn，

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amn1armn1nam(a0,m,nN*,n1)



0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）a·aa

(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）

rrs

(a0,r,sR)；

rrs(ab)aa

（3）

(a0,r,sR)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

0-1246

定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

定义域 R 值域y＞0 在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)a(a0且a1)，总有f(1)a；

二、对数函数

（一）对数

x1．对数的概念：一般地，如果aN(a0,a1)，那么数x叫做以．a为．底．N的对数，记作：xlogaN（a—

底数，N—

真数，logaN—

对数式）

说明：○1

注意底数的限制a0，且a1；

2

aNlogaNx；

○3

注意对数的书写格式．

○xxlogaN

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两个重要对数：

1

常用对数：以10为底的对数lgN；

○2

自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．

○

指数式与对数式的互化

幂值 真数

ab＝ NlogaN＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1

loga(M·N)logaM＋logaN；

○MlogaM－logaN；

N3

logaMnnlogaM (nR)．

○2

loga○注意：换底公式

logablogcb

（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca1n．

logab；（2）logabmlogba利用换底公式推导下面的结论

（1）logambn（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y2log2x，ylog5x

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

52

对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

○2、对数函数的性质：

a>1 0

-2.5

定义域x＞0 值域为R 在R上递增

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

定义域x＞0 值域为R 在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

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1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

0时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是

(

)

log272log522.计算：

①log32 ;②24log3= ；2535= ; 21log276413③0.064174()0[(2)3]3160.750.012 = 83.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 224.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知f(x)log1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)0的x的取值范围

a1x

第三章

函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1

（代数法）求方程f(x)0的实数根；

○2

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的○图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

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4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程axbxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

收集数据

222画散点图

不符合实际选择函数模型

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求函数模型

检验

符合实际

用函数模型解释实际问题

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