阅读与思考 集合中元素的个数教学实录与评析

第一单元

集合与常用逻辑用语

第1课集__合

[过双基] 1．集合的含义及表示

(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．

(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R. 2．集合间的基本关系

表示

关系

子集

基本关系

相等

文字语言

集合A的元素都是集合B的元素

集合A是集合B的子真子集

集，且集合B中至少有一个元素不属于A 集合A，B的元素完全相同

不含任何元素的集空集

合．空集是任何集合A的子集

3．集合的基本运算

表示

运算

交集

文字语言

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

符号语言

图形语言

记法

符号语言

记法

x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A

A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A A⊆B，

B⊆A ∀x，x∉∅，

∅⊆A AB或BA

A＝B

∅

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈A，或x∈B}

A∩B

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；

(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

[小题速通]

1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为(

) A．2

C．0

B．－2 D.2 解析：选B

若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝8，则k＝±10，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B中的元素之和为－2，故选B. 6*中2．(2018·河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝y∈N，y∈Ay

元素的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选D

A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0

y

3．(2017·黄冈三模)设集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}，则∁UA等于(

) A．{1,2}

C．{2,4}

B．{1,4} D．{1,3,4} 解析：选B

因为集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}＝{x∈N|1

4．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(

) A．{2}

C．{1,2,4,6}

B．{1,2,4} D．{x∈R|－1≤x≤5} 解析：选B

A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．

5．(2017·衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，则A∩B

为(

) A．(0,1)

C．(1,2)

B．[0,1] D．[1,2] 解析：选D

因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．

[清易错] 1．在写集合的子集时，易忽视空集．

2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

3．在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．

1．(2018·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为(

) A．8

B．4

C．3

D．2 解析：选B

由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B. 2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a＋3}，则实数a的值为________．

解析：∵∁UA＝{a＋3}，

∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U，

由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3，

解得a＝0或a＝2或a＝－3，

又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2. 答案：2 3．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．

解析：由题意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B⊆A. 当m＝0时，B＝∅，显然成立；

11111当m≠0时，B＝m⊆{2,3}，所以m＝2或m＝3，即m＝或. 2311故m组成的集合是0，2，3. 11答案：0，2，3

[全国卷5年命题分析] 考点

集合的基本概念

集合间的基本关系

考查频度

5年5考

5年2考

考查角度

集合的表示、集合元素的性质

子集概念

集合的基本运算

5年12考

交、并、补运算，多与不等式相结合

集合的基本概念

[典例]

(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(

) A．3

C．5

B．4 D．6 (2)(2018·厦门模拟)已知P＝{x|2

[解析]

(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．

(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5

(1)B

(2)(5,6] [方法技巧] 与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

(2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[即时演练] 1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(

) A．2

C．4

B．3 D．5 解析：选C

A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C. 2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

3解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3231且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2223＋m＝3，故m＝－. 23答案：－

2

集合间的基本关系

[典例]

(1)已知集合A＝{x|0

) A．(－∞，0)∪(2，＋∞)

C．[0,2]

B．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[0,3] (2)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a

a≥0，[解析]

(1)∵C⊆A，∴解得0≤a≤2，故实数a的取值范围为[0,2]．

a＋1≤3，

(2)因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A. ①当B＝∅时，满足B⊆A，

3此时－a≥a＋3，即a≤－；

2－a

[答案]

(1)C

(2)(－∞，－1] [方法技巧] 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．

[即时演练] 1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B⊆A，则m＝________. 解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}，

B＝{x|x＝－1或x＝－m}．

因为B⊆A，

当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；

当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2. 答案：1或2 2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________. 解析：

由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

而B＝(－∞，a)，

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4. 答案：4

集合的基本运算

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有：

1求交集或并集；

2交、并、补的混合运算；

3集合运算中的参数范围；