习题2.2ppt课件教学实录

教案示例［复习课］

目的与要求：

1、本节内容包括指数函数、对数函数及复合函数的单调性．

2、指数函数、对数函数是互为反函数的两类常见函数，要求掌握其概念、图象和性质．在应用上比较大小是一个重要课题，理解底数a对指数函数、对数函数单调性的影响，并能求一些简单的复合函数的单调区间．

3、对指数函数和对数函数的研究；应适当提高综合程度；不仅注意对由这些函数构成的较复杂函数的研究，而且注意已有的研究函数的基本理论和方法的综合运用，使函数理论得到较深层次的使用，同时应能看到运用互为反函数关系的概念，研究函数性质的方法．

4、对于复合函数虽然不必进行全面研究，但对于复合函数单调性还是要求到一定水准的，由于复合函数总可以分解成若干个基本常见函数，因此它的单调性也是由构成它的常见函数的单调性决定的，是有规律可循的，因此要求把握相应规律，会求复合函数的单调性，但不做过高要求．

重点与难点分析：

1、本节知识的重点是在理解指数函数，对数函数的定义的基础上掌握指数函数，对数函数的图象和性质，关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于对数函数还应抓住它是指数函数的反函数这一要领，加深和巩固对互为反函数的函数图象之间的关系的认识，对它们的图象性质的研究，不仅能进一步认识这些函数的性质，而且能指导对其他函数的研究，也是研究其他函数的重要工具．

2、本节知识的难点是当时对指数函数和对数函数性质的影响，因为时函数值变化的不同情况容易引起混淆，因此必须充分利用图象，数形结合，这样便于记忆函数的性质和变化规律．

3、求复合函数单调区间虽不是重点，但在研究过程中经常会出现不考虑复合函数的定义域对函数单调区间的制约，不考虑自变量取值范围与中间变量取值范围的区别等常见错误，应引起重视．

典型例题：

例1 指数函数的图象只能是

答案：A．

分析：根据指数函数和对数函数的定义，对底数要求应该有

这里要求把图象中反映出来的函数的性质同函数的解析式中有关系数的特征联系．由此由指数函数和对数函数的性质．图象应下降，的图象应上升，故本题应选A．

小结：指数函数对底数化．当的变化直接影响函数值变时指数函指数函数在定义域内为增函数，体现为图象上升，当数在定义域内为减函数，体现为图象下降．对数函数是通过反函数角度定义的，因此对底数a也有同样的要求，且增减性与其对应的指数函数的单调性是相同的．

例2 当

答案：或．

的取值范围．

分析：不妨把合图象可以得到所给函数为指数函数或

由指数函数的性质结

小结：对于指数函数的性质理解必须与图象相结合，要脑中有图，心中有数．对于指数

函数结合图象可知当

例3 求下列函数的定义域

解：（1）

（2）

（3）

小结：求函数定义域中，遇到简单的指数，对数不等式；可利用函数的单调性或结合函数图象求解．对于含有字母的函数关系求定义域．注意分类讨论，且不能将结果做交和并的运算．

例4 比较下列两数大小，并说明理由．

分析：利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次化大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．

对于底数和指数都不相同的幂形数比较大小，通常可以有三种方法：（1）转化成同底数或同指数；（2）以特殊值为中介间接比较大小，这种特殊值常用1，0等；（3）用比较法（取差或取商法）．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

例5 比较两个数的大小，说明理由．

解：

小结：此题要特别注意运用分类讨论的思想，既要注意分类讨论对象的可能取值范围又要注意讨论不重不漏，特别是

例6

分析：去掉绝对值符号可以用比较差与0的大小的方式判断它们的大小，为此要对的取值范围分情况讨论．

解：

综上所述，对任何

小结：此法是分类讨论去掉绝对值符号，这是基本的方法，除此之外，去掉绝对值符号也常用到的方法，而得到如下解法二

解法二：

都有

小结：前面两种方法不管怎样去掉绝对值，用到的都是求差比较法，当然还可以利用求商比较法，巧妙利用换底公式的反用，把底换掉，避免了对的分类讨论．

解法三：

因为

例7 利用指数函数，对数函数的图象画出下列函数的图象

分析：由于

的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，即可得到即可得到的图象：把的图象．

的图象向左平移三个单位，再向上平移1个单位

小结：利用平移法画图象，首先应搞清被平移图象与所画图象间的关系，以便在相应位置找到画图的依托，其次能在新的依托下准确画出被平移的图象，最后注意图象与两轴的交点是图象的关键点，应大致准确．

例8 讨论下列函数的单调区间

分析：合而成．

（1）函数

是增函数，所以由以上两个函数复

在定义域内是减函数，当上是减函数．

（2）分析：给出的是复合函数，把它分解为若干函数的方法不是唯一的，还是令的分解方法对研究单调性简捷些，同时注意，函数的单调区间只能是这个函数的定义域的子区间，

由

时是减函数，得出函数的定义域是构成的复合函数，并且时是增函数，在

时是减函数，根据复合函数的增减性规律可得所求函数的递增区间是[1，3）．

例9 求函数的单调区间，并指出相应区间的增减性．

解：构成的复合函数，且域是上是减函数，时是减函数，在时是增函数，且

根据复合函数的单调性的规律，由下表