信息技术应用 借助信息技术方程的近似解获奖说课稿

3.1.1方程的根与函数的零点

王

玉

龙

1

3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学目标：

1、弄清函数yfx的零点与fx0的根之间的关系

2、理解函数yfx在区间a,b存在零点的条件

二、教学重、难点

1、判断方程是否有根

2、分析函数零点所在的大致区间（估算法、图像法）

三、教学过程

1、引入：

观察方程x2x30与函数yx22x3

由x2x30，分解得(x3)(x1)0，得x13,x21

即：yx22x3的图像与x轴有两个交点(3,0),(1,0)

如图：

22y

(-1,0)

o (3,0)

x

2可知：方程x2x30的两个实数根就是yx2x3的图像与x轴交点的横坐标

2同理可得，

2方程x2x10分解得(x1)0，所以x1

22即：x2x10有两个相等的实数根，且x1x21

所以函数yx2x1与x轴有唯一的交点(1,0)

2 2

如图：

y

x

o (1,0)

以此类推，

方程x2x30，可知441380，无实数根，

所以，函数yx22x3图像与x轴没有交点

如图：

2y

x

o

综上可得：

一元二次方程axbxc0(a0)与函数yaxbxc(a0)的关系可以总结为：

（1）、0,axbxc0有两个不等的实数根，则对应的函数图像与x轴有两个不同

3 222

的交点

（2）、0,ax2bxc0有两个相等的实数根，则对应的函数图像与x轴有一个交点

（3）、0,ax2bxc0没有实数根，则对应的函数图像与x轴没有交点

2、给出函数零点的定义：

对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点

即：yf(x)的零点，就是f(x)0的实数根，也是yf(x)的图像与x轴交点的横坐标

结论：

f(x)0有实数根yf(x)的图像与x轴有交点yf(x)有零点

3、继续研究f(x)x22x3的图像

因为f(x)x22x3(x3)(x1)，零点为1,3

y

x

-2 -1 o 1 2 3 4

由图可知：f(2)0,f(1)0，所以f(2)f(1)0，

又因为函数在2,1内单调递减，所以函数f(x)x2x3在2,1内有零点，2

4

且零点为x1

同理：f(2)0,f(4)0，所以f(2)f(4)0，又因为函数在2,4内单调递增，所以函数f(x)x22x3在2,4内有零点，且零点为x3

请同学们继续自主研究以下函数：找出零点

(1)f(x)x2x6,(2)f(x)x22x8

4、小结：

如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根

5、例题讲解：

例题1、求函数f(x)lnx2x6的零点的个数

解：首先，经观察，函数f(x)lnx2x6在定义域内是单调递增函数

方法一、估算法：在定义域内取值，找出两端异号的区间

方法二、图像法：构造函数，找出交点所在区间

得出结论即可

完成练习第2（3）题

6、作业：（1）、自学二分法（2）、习题3.1第二题

小结：本节课需要掌握的要点：

（1）、会判断方程的根与函数零点

（2）、能指出函数零点所在的大体区间

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