习题2.1教案设计（一等奖）

指数函数习题课教学设计

学习目标

知识目标：进一步掌握指数函数的定义及其性质，并会初步运用性质解题。

能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力。

情感目标：渗透数学思想和文化，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。

教学重点

含指数的函数的定义域，值域；指数函数单调性的应用

教学难点

含参数的定义域的求法。

教学方法

启发、引导、探究、讲解、演练相结合。

教学设计

一、趣题引路

师：同学们！这张100美元中的人头像是谁？

生：富兰克林！

师：对！美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明·富兰克林（Franklin·B，1706～1790）。一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有一千美元。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配上百万美元财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的：（投影）

“……一千美元赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千美元，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这款子过了100年增加到131000美元。我希望，那时候用100000美元来建立一所公共建筑物，剩下的31000美元拿去继续生息100年……” 师：作为科学家与政治家的富兰克林，留下区区的1000美元，竟立了富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？！让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下。请看下表：

第1年时间

第1年末

第2年末

…

第100年末

…

第n年末

始

记号

f(0) f(1) f(2) …

f(100) …

f(n) 遗产数

a0=1000 a0(1+5%) a0(1+5%)2

…

a0(1+5%)100

…

a0(1+5%)n

（美元）

从而得到函数

f(n)= a0(1+5%)n

师：上式是什么函数的特例？

生：是函数y=ax当a=1.05时的特例。

师：在数学上形如y=ax的函数称为什么函数？

生：指数函数！

（板书标题）

师：其中a有哪些要求？

生：为大于0且不等于1的常量！

（通过历史上的有趣故事来做复习铺垫，同时进行数学史教育，凸现人文气息。通过复习，培育和预热“指数函数”概念与性质的最近发展区，激发和点燃学生学习的兴趣和热情）

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二、知识回顾

师：通过实例进一步说明了学习指数函数的重要性，趁热打铁，回顾一下指数函数的有关知识点。（多媒体显示知识点，并让学生回答）

师：指数函数的定义是什么？

生1：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数。

师：指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质怎样呢？

生2：

a>1 Y

O X 0

O X (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）函数在 R上是增函数

（4）函数在 R上是减函数

（通过让学生自己填表完成，做到师生互动，充分保障学生的主体地位）

三、架桥铺路

师：刚才两位同学回答得很好！指数函数是我们高中数学中的重要内容之一，它的用途十分广泛，现在让我们再来看上面的问题，观察故事中y=1.05n值的变化，同学们！你能算出当n=100时，y100=？

生：131.501 257 9（用计算器）

师：这意味着，上面的故事中，在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到

f(100)=1000×131.501257 9=131501. 2579（美元）

可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的！

师：微薄的资金，合理的利率，在神奇的指数效应下，可以变得令人瞠目结舌。这就是富兰克林出色的遗嘱给人的启示！

第一个美国人，美国之父，美国梦，艾萨克森写的富兰克林传。

师：根据有关资料显示，当时美国政府还有遗产税的政策，政策规定：在当事人死亡后若干年内必须每年缴纳一定数量的遗产税。

并且发现所缴纳的遗产税y与年份n（规定当事人去世那一年n=1）有以下有趣的计算公式：y= a0(1+5%)n·un，（其中a0为遗产，un=

生：需要5年！

师：如何得到的？

生：依据题意只需y>0，即64–2n >0,也就是64>2n，

26>2n，由y=2x在R上增函数得n<6且n∈N*，故需缴纳遗产税5年。

师：上述问题的解决用到了指数函数的有关知识，其实质是在实际背景下求含指数的函

2 。

642n，n∈N*）

请同学们思考一下，按照上述政策，在当事人死后需缴纳遗产税多少年？

数的定义域，解不等式时又用到指数函数的单调性。如果我们将un抽象出来，将n的取值

范围拓展到全体实数，情况有将怎样呢？

请同学们思考以下案例。

四、案例探究

案例

求函数y642x

的定义域与值域。

（模拟科学研究的程式，从数学的实际问题出发，通过观察、总结和抽象，确立研究的对象，使学生认识到数学源于生活实际）

师：要使函数有意义，必须满足什么条件？

生：必须满足64-2x≥0

师：这个不等式如何解？

生：先化为26≥2x，再利用指数函数的单调性得到x≤6！

师：对！

教师边讲边板书过程如下：

解：要使函数有意义，必须64-2x≥0，即x≤6。所以定义域(-∞,6]

师：值域又该如何考虑呢？

生1：值域为[0，+∞）

师：其他同学有没有不同意见？

生2：值域应该为[0.8)！

师：为什么？

生2：∵2x≥0，

∴0≤64-2x<64，故值域为[0.8)

师：完全正确！请坐下！

师：函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合；而值域则是在定义域的制约下的函数值的集合。同学们！一定要注意定义域对值域的制约作用！

变式：求函数y2x64的定义域与值域。

解析：要使函数有意义，必须2x–64≥0,即x≥6。所以定义域为[6,+∞]。

∵2x-64≥0，

∴

值域为[0,+∞],

探究一：求函数y1ax

(a>0且a≠1)的定义域与值域

（分小组讨论，借此培养学生间的团结合作精神）

师：在解不等式的时候要注意什么？

生：分类讨论！

师：对！当底数是字母的时候，要进行讨论，那么分哪几种情况呢？

生：分a>1与0

解析：要使函数有意义，必须1ax0；即ax

≤1。

当a>1时x≤0；

当0

x≥0

∴当a>1时定义域为(－∞,0)；当0

∵ax>0 ∴0≤1－ax<1

∴值域为[0,1]

变式：若改成yax1

，其余条件不变，则又该如何？

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解析：要使函数式有意义，必须ax－1≥0, 即ax≥a0

当a>1时，由y=ax为增函数得，

x≥0，∴定义域为[0，+∞]；

当0

（探究一是对底数作了改变，逐步推进，从特殊到一般，有效地将难点分解突破）

探究二：求函数f(x)12x22x

的定义域与值域

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解析：要使函数式有意义，必须

12x2x0即

2x22x1

由y=2x为增函数得x2+2x≤0，∴定义域为[－2,0];

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师：∵－2≤x≤0, ∴－1≤x2+2x≤0

∴值域为[0,]

2

师：这里求函数值域的方法是从里到外逐步推进，在求值域时要注意定义域对值域的制约作用。

（从幂指数的角度对案例进行逐步推进，从而进一步培养学生探究问题的能力）

师：本节课通过同学们的积极思考、合作、探索和研究，巩固、掌握了有关指数函数的概念与性质，接下来我们一起来做这节课的小结工作.

五、小结（知识、方法、思想）

特殊到一般、分类讨论

三个探究

某些函数的定义域与值域

指数函数性质的应用

两个变式

一个案例

师：今天主要是研究了一个案例，两个变式，三个探究。所有的这些我们都是在解决一个什么问题？

生1：函数的定义域与值域！

师：在具体求解含指数的不等式中我们用到了指数函数的哪些知识？

生2：指数函数的单调性！

师：还用到了哪些数学思想？

生3：分类讨论的思想！

师：当底数a不确定时，我们需要进行分类讨论，对底数分a>1与0

生：特殊到一般！

师：对！很好！

（小结在教师的点拨下，请学生完成，以此培养学生的归纳、总结的能力）

六、作业

1．阅读作业：仔细通读教材，进一步分析图象特征并思考：当底数a变化时，图象有什

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么变化规律。

x

2．书面作业：(1)求函数y1(12)

的定义域、值域.

(2)已知

ax21

a2x(a0,且1)，试求x的取值范围.

3．研究性作业（课外延伸）：请同学们继续探究我们今天的案例，并分析其定义域与值域.（如函数yaxbx

(a>0且a≠1；b>0且b≠1)的定义域与值域）

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