小结优秀教案内容

3.1.1 方程的根与函数的零点

学习目标

1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．

预习教材P86－P88，完成下面问题：

知识点1 函数的零点

(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x. (2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

【预习评价】

(1)函数f(x)＝x－4x的零点是________．

(2)若2是函数f(x)＝a·2－log2x的零点，则a＝________. 解析

(1)令f(x)＝0，即x－4x＝0，解得x＝0或x＝4，所以f(x)的零点是0和4. 1(2)由f(2)＝4a－1＝0得a＝. 41答案

(1)0和4 (2)

4知识点2 函数零点的判断

(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②22xf(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”)

11(1)设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1,1)内有零点(

) xx(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(

) (3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点．(

) 1提示

(1)×

由于f(x)＝的图象在[－1,1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其x有零的结论．

1

(2)×

反例：f(x)＝x－2x，区间为(－1,3)，则f(－1)·f(3)>0. (3)×

反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1,3)，满足条件，但f(x)在(－1,3)内有0,1,2三个零点．

题型一

函数零点的概念及求法

1【例1】

(1)函数y＝1＋的零点是(

) 2xA．(－1,0)

(2)设函数f(x)＝2和为________．

1－xB．x＝－1

C．x＝1

D．x＝0 －4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之(3)若3是函数f(x)＝x－mx的一个零点，则m＝________. 1解析

(1)令1＋＝0，

2x解得x＝－1，故选B．

(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2. (3)由f(3)＝3－3m＝0解得m＝3. 答案

(1)B (2)－2 (3)3 规律方法

函数零点的两种求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

【训练1】

函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是________．

解析

∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0⇒b＝－2a，∴g(x)＝bx－ax122＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)，∵－ax(2x＋1)＝0⇒x＝0，x＝－，∴函数g(x)＝bx－ax21的零点是0，－. 21答案

0，－

2题型二

确定函数零点的个数

【例2】

判断下列函数零点的个数．

352(1)f(x)＝x－x＋；

48

2 222

(2)f(x)＝ln x＋x－3. 35531322解

(1)由f(x)＝0，即x－x＋＝0，得Δ＝－－4×＝－<0，

488164352所以方程x－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0. 48(2)法一

函数对应的方程为ln x＋x－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x的图象交点个数．

在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

222

由图象知，函数y＝3－x与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x－3有一个零点．

法二

由于f(1)＝ln 1＋1－3＝－2<0，

2222f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，

所以f(1)·f(2)<0，

又f(x)＝ln x＋x－3的图象在(1,2)上是不间断的，

所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

规律方法

判断函数零点个数的四种常用方法

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．

(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．

(4)转化成两个函数图象的交点问题．

【训练2】

函数f(x)＝ln x－A．0

B．1

1的零点的个数是(

) x－1C．2

D．3 2解析

如图画出y＝ln x与y＝11的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)x－1x－11的零点有2个．

x－1的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－

3

答案

C 题型三

判断函数零点所在的区间

【例3】

(1)二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的部分对应值如下表：

2x y －3

6

－2

－1

－4

20

－6

1

－6

2

－4

3

4 6 m n 不求a，b，c的值，判断方程ax＋bx＋c＝0的两根所在区间是(

) A．(－3，－1)和(2,4)

C．(－1,1)和(1,2)

B．(－3，－1)和(－1,1) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)

6(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0,1)

B．(1,2) 2C．(2,4)

D．(4，＋∞)

解析

(1)易知f(x)＝ax＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A．

6(2)∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log2222x31＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知包含f(x)零点的区间是(2,4)．

22答案

(1)A (2)C 规律方法

确定函数f(x)零点所在区间的常用方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

【训练3】

(1)函数f(x)＝e＋x－2的零点所在的一个区间是(

) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1)

D．(1,2) x(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(

) A．－2

B．1

0C．－2或1

D．0 解析

(1)∵f(0)＝e＋0－2＝－1＜0，

f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，

4

∴f(x)在(0,1)内有零点．

1(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数yx1＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，x－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C．

答案

(1)C (2)C

课堂达标

1．函数f(x)＝2x－4x－3的零点有(

) A．0个

B．1个

22C．2个

2D．不能确定

解析

由f(x)＝0，即2x－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．

答案

C 2．函数f(x)＝4－2－2的零点是(

) A．(1,0)

B．1

xxxxxx21C．

2xD．－1 解析

由f(x)＝4－2－2＝(2－2)(2＋1)＝0得2＝2，解得x＝1. 答案

B 1x3．函数f(x)＝2－的零点所在的区间是(

) x1A．(1，＋∞)

B．，1

211C．，

3211D．，

43111解析

f(1)＝2－1＝1，f＝22

－2＝2－2<0，即ff(1)<0，且f(x)的图象在221，1内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是1，1. 22答案

B 4．函数f(x)＝x－2在R上的零点个数是________．

解析

由题意可知，函数f(x)＝x－2的零点个数，等价于函数y＝2，y＝x的图象交点个数．如图，画出函数y＝2，y＝x的大致图象．

5 x222xxx2

由图象可知有3个交点，即f(x)＝x－2有3个零点．

答案

3 325．若是函数f(x)＝2x－ax＋3的一个零点，求f(x)的零点．

293322解

由f＝2×－a＋3＝0得a＝5，则f(x)＝2x－5x＋3，令f(x)＝0，即2x－5x42233＋3＝0，解得x1＝，x2＝1，所以f(x)的零点是和1. 22课堂小结

1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

2x

6