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习题精选精讲

幂函数

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．

一、分类讨论的思想

例1

已知函数yxn22n3(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．

222

解：因为图象与y轴无公共点，故n2n3≤0，又图象关于y轴对称，则n2n3为偶数，由n2n3≤0，得1≤n≤3，又因为nZ，所以n0，1，2，3．

当n0时，n22n33不是偶数；

当n1时，n22n34为偶数；

当n1时，n22n30为偶数；

当n2时，n22n33不是偶数；

当n3时，n22n30为偶数；

所以n为1，1或3．

此时，幂函数的解析为yx0(x0)或yx4，其图象如图１所示．

二、数形结合的思想

例2

已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点2，14，在幂函数g(x)的图象上．

问当x为何值时有：（１）f(x)g(x)；（２）f(x)g(x)；（３）f(x)g(x)．

分析：由幂函数的定义，先求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可．

解：设f(x)xm，则由题意，得2(2)m，

∴m2，即f(x)x2．再令g(x)xn，则由题意，得14(2)n，

∴n2，即g(x)x2(x0)．在同一坐标系中作出

f(x)与g(x)的图象，如图2所示．由图象可知：

（1）当x1或x1时，f(x)g(x)；

（2）当x1时，f(x)g(x)；

（3）当1x1且x0时，f(x)g(x)．

小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中g(x)的隐含条件x0．

三、转化的数学思想

1

例3

函数y(mx24xm2)4(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（

Ａ．(51，2)

Ｂ．(51，∞)

．

）

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2)

Ｃ．(2，

Ｄ．(15，15)

14

解析：要使函数y(mx4xm2)2即m0且44m(m2)0．

2(m2mx1)的定义域是全体实数，可转化为mx24xm20对一切实数都成立，

解得m51．

故选（Ｂ）

幂函数中的三类讨论题

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．

分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

类型一：求参数的取值范围

例1

已知函数f(x)x

分析：函数f(x)x2m2m3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式．

2m2m3(mZ)为偶函数，已限定了2m2m3必为偶数，且mZ，f(3)f(5)，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f(x)的解析式．

解：∵f(x)是偶函数，∴2mm3应为偶数．

2

又∵f(3)f(5)，即32mm3252m2m3，整理，得352m2m31，∴2m2m30，∴1m3．

2

又∵mZ，∴m0或1．

22

当m=0时，2mm33为奇数（舍去）；当m1时，2mm32为偶数．

故m的值为1，f(x)x．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题

例2

已知函数f(x)x，设函数g(x)qf[f(x)](2q1)f(x)1，问是否存在实数q(q0)，使得g(x)在区间∞，4是220)上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

减函数，且在区间(4，

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

解：∵f(x)x，则g(x)qx(2q1)x1．

假设存在实数q(q0)，使得g(x)满足题设条件，

设x1x2，则g(x1)g(x2)qx1(2q1)x1qx2(2q1)x2

2(x1x2)(x2x1)[q(x12x2)(2q1)]．

42422424，易知x1x20，x2x10，要使g(x)在∞，4上是减函数，则应有q(x1x2)(2q1)0恒成

若x1，x2∞，22立．

∵x14，x2≤4，∴x1x232．而q0，

22

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∴q(x1x2)32q.．

从而要使q(x1x2)2q1恒成立，则有2q1≥32q，即q≤22221．

30220)，易知(x1x2)(x2x1)0，要使f(x)在(4，0)上是增函数，则应有q(x1x2)(2q1)0恒成立．

若x1，x2(4，

∵4x10，4x20，

∴x1x232，而q0，∴q(x1x2)32q．

要使q(x1x2)2q1恒成立，则必有2q1≤32q，即q≥2222221．

30

综上可知，存在实数q10)上是增函数．

，使得g(x)在∞，4上是减函数，且在(4，30

评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

例3

讨论函数y(kk)x2k22k1在x0时随着x的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

2

解：（1）当kk0，即k0或k1时，y0为常函数；

（2）当k2k10时，k122或k12，此时函数为常函数；

2kk0，

（3）即0k12时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

2k2k10，2kk0，

（4）当即k1或k12时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

2k2k10，2kk0，

（5）当即12k0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

2k2k10，2kk0，

（6）当，即1k12时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

2k2k10，

评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数习题

幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．

例1

若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围．

m10，

错解（数形结合）：由图１可知32m0，

m132m，

解得

m23，且m．

32

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0)和(0，∞)上分别具有单调性，但在区间(∞，0)

剖析：函数yx(x0)虽然在区间(∞，用单调性解答是错误的．

正解（分类讨论）：

1(0，∞)上不具有单调性，因而运m10，

（1）32m0，

m132m，

解得23dm；

32

m10，

（2）32m0，此时无解；

m132m，

（3）m10，，

解得m1．

32m0，23，．

321)

综上可得m(∞，

现在把例1中的指数1换成3看看结果如何．

例2

若(m1)(32m)，试求实数m的取值范围．

错解（分类讨论）：由图2知，

33m10，2

（1）32m0，1，

解得1m；

332mm1，m10，

（2）32m0，此时无解；

32mm1，

（3）m10，，

解得

m1．

32m0，21，．

31)

综上可得

m(∞，

剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．

∞)上单调递增，所以m132m，解得m

正解（利用单调性）：由于函数yx在(∞，

例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对121232．

31和4两个问题与解法进行探究．

2

例3若(m1)(32m)，试求实数m的取值范围．

m10，2

解：由图3，32m0，，解得

1≤m．

332mm1，

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例4

若(m1)(32m)，

解析：作出幂函数yx的图象444试求实数m的取值范围．

如图4．由图象知此函数在(∞，0)4(0，∞)上444不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4时，xx．于是有(m1)(32m)，即m132m．

∞)上单调递增，

又∵幂函数yx在(0，

∴m132m，

解得m4442，或m＞4．

3

上述解法意识到幂函数yx(0)在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．

解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如[f(x)][g(x)]（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：

（1）当1，，，，解法同例1

（2）当13，，，5，，，解法同例2 131513151112464，6，，解法同例4．

（4）当2，

（3）当，，解法同例3 ，，，

编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．