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1.3.2 函数的极值与导数

【教学目标】

1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法. 3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

【学法指导】

函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数作用. 【教学内容】

1．极值点与极值

(1)极小值点与极小值

如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f'(a)0；而且在点xa附近的左侧 ________，右侧__________，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值. (2)极大值点与极大值

如图，函数yf(x))在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f'(b)0；而且在点xb的左侧__________，右侧__________，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值．__________、________统称为极值点，________和________统称为极值．

2．求函数yf(x)的极值的方法

解方程f'(x)0，当f'(x0)0时：

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是________．

(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是________．

探究点一

函数的极值与导数的关系

问题1 如图观察，函数yf(x))在d,e,f,g,h,i等

点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？

yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附

近，yf(x)的导数的符号有什么规律？

问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？

问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．

'思考

函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数(f(x)在''''(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有________个极小值点．

例1 求函数f(x)x3x9x5的极值．

32

跟踪训练1 求函数f(x)33lnx的极值

x

探究点二

利用函数极值确定参数的值

问题

已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？

例2 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a,b的值．

跟踪训练2 设x1,x2是函数f(x)alnbx2x

的两个极值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x1,x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

探究点三

函数极值的综合应用

例3 设函数f(x)x36x5,xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

跟踪训练3 若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

【课堂练习】

1．“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．下列函数存在极值的是

(

) 1xx323 B．yxe C. yxx2x3

D．yx

x323．已知f(x)xax(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为

(

) A．1a2

B．3a2

C．a1或a2

D．a3或a6

x4．设aR，若函数yeax,xR有大于零的极值点，则a的取值范围为____________．

35．直线ya与函数yx3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________ ．

A．y【课堂小结】

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．

2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f'(x0)0

且在xx0两侧f(x)符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．

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