习题3.2教学设计和教学实录

题型一

用函数图象刻画变化过程

例1

(1)(2015·九江模拟)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(

)

(2)(2015·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(

)

思维升华

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(

)

题型二

已知函数模型的实际问题

1

例2

(2015·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋Qblog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗10氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a、b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

思维升华

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

题型三

构造函数模型的实际问题

命题点1

构建二次函数模型

例3

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(

) A．10.5万元

B．11万元

2

C．43万元

命题点2

构建指数函数、对数函数模型

D．43.025万元

例4

(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(

) A．1.5%

C．1.7%

B．1.6%

D．1.8% (2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(

) A．略有盈利

C．没有盈利也没有亏损

命题点3

构建分段函数模型

例5

某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 思维升华

构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时) (2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(

) A．10

C．13

2．函数应用问题

B．11

D．21 B．略有亏损

D．无法判断盈亏情况

3

典例

(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的400－6x，0

x－x2，x>40.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

思维点拨

根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．

规范解答

解

(1)当0

当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40) 40 000＝－－16x＋7 360. x－6x＋384x－40，0

－－16x＋7 360，x>40.x(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；[6分]

40 000②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，

x40 000由于＋16x≥2x40 000×16x＝1 600，

x2

40 000当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，

x所以W取最大值为5 760.[10分]

综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万元．[12分]

解函数应用题的一般程序

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合

4

理性．

温馨提醒

(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

[方法与技巧]

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．

3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思．

[失误与防范]

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

5

答案解析

基础知识

自主学习

知识梳理

1．(2)递增

递增

y轴

x轴

思考辨析

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√

考点自测

1．D

[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]

2．D

[由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选D.]

3．D

[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，

∴x＝1＋p1＋q－1.] 24－4x4．A

[设隔墙的长度为x(0

由题意得22k＋b∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，

19242e＝48，

13b1＋y＝e33kb＝(e11k)3·eb＝e＝×192＝24. 2·8题型分类

深度剖析

例1

(1)D

(2)B 解析

(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 跟踪训练1

D

[依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4

解

(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，30故有a＋blog3＝0，

10即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，

6

90故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1. 10a＋b＝0，a＝－1，解方程组得

a＋2b＝1，b＝1.

QQ(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，1010Q即log3≥3，解得Q≥270. 10所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

跟踪训练2

19 解析

由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. 例3

C

[设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所212212以可得利润y＝4.1x－0.1x＋2(16－x)＝－0.1x＋2.1x＋32＝－0.1(x－)＋0.1×＋32. 2422因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．] 例4

(1)C

(2)B 解析

(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1lg 2＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%. 40(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a

例5

9 解析

设出租车行驶x km时，付费y元，

9，08，由y＝22.6，解得x＝9. 跟踪训练3

(1)5

(2)A 解析

(1)设经过x小时才能开车．

由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，

∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x，

设备年平均费用为y，

则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，

100＋0.5x＋xx＋1100所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5，

xx

7

100由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2x100x·＋1.5＝21.5，

x100当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A. x

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