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纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是关系涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用,图

象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论, 转化等数学思想方法。有的学生看到就头疼的题目.分析

原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 一.

函数性质法, i给定一次函数f(x)kxb(k0),若yf(x)在m,n内恒有f(x)0,则根据函数的图像

a0a0f(m)0可得可合并成,同理若yf(x)在m,n内恒有或f(m)0f(n)0f(n)0f(x)0则有

f(m)0

f(n)0例1.

若不等式2x1m(x1)的所有2m2都成立，求x得取值范围

【思路分析】本题可以把m视为主变元，将原不等式化为：m(x1)(2x1)0,令

22f(2)0，即可得答案

f(m)m(x21)(2x1)，再由题意得f(2)0

ii二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解

有以下几种基本类型：

类型1：设f(x)axbxc(a0).

（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立2a0且0．

类型2：设f(x)axbxc(a0).

（1）当2a0时，f(x)0在x[,]上恒成立bbb,

2a或或2a2af()00f()0.f()0,f(x)0在x[,]上恒成立

f()0.f0,（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立

f0.bbb,f(x)0在x[,]上恒成立2a

或或2a2af()00f()0.例2.【2014年江苏卷】已知函数f(x)=x若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0a2+mx-1,a成立，则实数m的取值范围是

【思路分析】函数f(x)=x若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0正好满a2+mx-1, a成立，足,当a0时，

上恒成立f()0,f()0.

代入即可得到答案

iii．其它函数：

f(x)0恒成立f(x)min0（注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)0恒成立；f(x)0恒成立f(x)max0（注：若f(x)的最大值不存在，f(x)的下界大于0）则f(x)0恒成立f(x)的上界小于0）．

例3.[浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题]已知函数f(x)满足

f(logax)a1(xx),其中a0,且a1. 2a1（1）求函数yfx的解析式，并判断其奇偶性；

（2）当x(,2)时, f(x)4的值恒为负数,求实数a的取值范围

【思路分析】（1）判断函数奇偶性的方法：1、先求出函数定义域若关于原点对称,则进行第二步；若不关于原点对称则为非奇非偶函数2、再判断f(x)与f(x)的关系，如果相等则是偶函数，如若互为相反数则是奇函数，若不能确定则为非奇非偶函数(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：1）afx恒成立afxmax，2）afx恒成立afxmin

二．

分离参数法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式fx,0（xD，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；

（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；

（3）解不等式gf(x)max(或gfxmin) ，得的取值范围．

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．

x22x,x0例4（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数f(x)，若|f(x)|≥ax，则a的ln(x1),x0取值范围是

A.(,0]

B.(,1]

C.[-2,1]

D.[-2,0] x22x,x0【思路分析】因为函数f(x)ln(x1),x0

可得f(x)0|f(x)|，分x0,x0两种情况讨论，因为是选择题，可以用选择题的特殊方法讨论

例5．已知函数f(x)＝mx－mx－1.

(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

【思路分析】(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在R上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.

2

三．

主参换位——反客为主法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．

例6．对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围. 【思路分析】在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题.

四．

数形结合

若所给不等式进行合理的变形化为f(x)g(x)（或f(x)g(x)）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．

x1a3例7．求证：

f(x)，对于xa1,a2恒有2f(x)成ax2立. 【思路分析】对于分子，分母中都含有变量的一般用分离常数法，使其只在分母中含有变量，1y1这样原方程可化成xa画出图像，利用数形结合得到答案.

五．

消元转化法

例8．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m,n[1,1],mn0时f(m)f(n)0，若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒mn成立，求实数t的取值范围．

【思路分析】本题不等式中有三个变量，可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，所以f(x)在[-1，1]上最大值是f(1)=1，问题可转化为t22at11

对于所有的a1,1恒成立，把问题的到转化

上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍，但要注意通性通法；值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.