小结教学目标设计

专题一

数式的大小比较

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

例1：比较下列各组数的大小

1－1.5(1)40.9,80.48，2；

ln 2ln 3ln 5(2)，，；

235(3)2，3，6；

1(4)20.1,0.60.2，ln. 21－－－[解析]

(1)40.9＝(22)0.9＝21.8,80.48＝(23)0.48＝21.44，()1.5＝(21)1.5＝21.5，

2∵y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44，∴21.8>21.5>21.44

1－1.50.48即40.9>2>8

ln 2ln 33ln 2－2ln 3ln 8－ln 9ln 2ln 3(2)－＝＝<0，∴<，

236623ln 2ln 55ln 2－2ln 5ln 32－ln 25ln 2ln 5－＝＝>0，∴>，

25101025∴ln 3ln 2ln 5>>

32512121316(3)(2)＝2＝8，(3)＝3＝9，(6)6＝61＝6；

又∵2>0,3>0,6>0，且y＝x6在(0，＋∞)单调递增，

∴3>2>6. (4)∵20.1>20＝1；0<0.60.2<0.60＝1；

1ln0.60.2>ln. 213121612131663136216

1．设a＝log0.50.8，b＝log1.10.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为(

) A．a＜b＜c

C．b＜c＜a

B．b＜a＜c

D．a＜c＜b

解析：∵a＝log0.50.8＜log0.50.5＝1，b＝log1.10.8＜log1.11＝0，c＝1.10.8＞1.10＝1，又∵a＝log0.50.8＞log0.51＝0.∴b＜a＜c. 答案：B 2．比较下列各组数的大小：

(1)27,82；(2)log0.22，log0.049；(3)a1.2，a1.3；(4)0.213,0.233. 解析：(1)∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27. lg 9lg 32(2)∵log0.049＝＝

lg 0.04lg 0.22＝2lg 3lg 3＝＝log0.23. 2lg 0.2lg 0.2又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，

∴log0.22>log0.23，

即log0.22>log0.049. (3)因为函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，

而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2

当0a1.3. (4)∵y＝x3在R上是增函数，

且0.21<0.23，∴0.213<0.233. 专题二

指数函数与对数函数有关的值域问题

1．y＝af(x)或y＝logaf(x)结构：

(1)确定函数定义域；

(2)设t＝f(x)，确定定义域内t的范围；

(3)作出y＝at或y＝logat简图，由图象直观性求值域．

2．y＝m·(ax)2＋n·ax＋c或y＝m(logax)2＋n·logax＋c结构：

设t＝ax或t＝logax，转化为关于t的二次函数问题．

例2：

(1)函数y＝2x2－2x＋3的值域是(

) A．[4，＋∞)

C．(－∞，4)

B．(4，＋∞) D．(－∞，4] [解析]

函数y＝2x2－2x＋3的定义域为R，设t＝x2－2x＋3，则有t＝x2－2x＋3＝(x－

1)2＋2≥2，∴y＝2t≥4. [答案]

A (2)设函数y＝4x－3·2x＋3，x∈[－1,2]求其最值．

[解析]

y＝4x－3·2x＋3＝(2x)2－3·2x＋3，

1设t＝2x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤4，

233∴y＝t2－3t＋3＝(t－)2＋，

2433∴当t＝时，ymin＝；

24t＝4时，ymax＝7.

3．函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是________．

解析：函数y＝log2(x2－2x＋3)的定义域为R，

设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴y＝log2t≥1. 答案：[1，＋∞) 14．设函数f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)的定义域为4，4，

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．

1解析：(1)因为t＝log2x，而x∈4，4，

1log2，log24＝[－2,2]．

所以t的取值范围为区间4(2)记y＝f(x)＝(log2x＋2)(log2x＋1) ＝(t＋2)(t＋1)＝g(t)

(－2≤t≤2)．

3331t＋2－在区间－2，－是减函数，在区间－，2是增函数，

∵y＝g(t)＝2242332∴当t＝log2x＝－，即x＝2－＝时，

224y＝f(x)有最小值f123＝g－2＝－；

44当t＝log2x＝2，即x＝22＝4时，

y＝f(x)有最大值f(4)＝g(2)＝12.

专题三

指数函数与对数函数图象问题

1．给式求图

(1)确定函数定义域；(2)确定函数奇偶性；(3)确定函数单调性；(4)特殊点的位置．

2．图象变换及应用

出现我们不会解的方程的时候，我们常常用数形结合思想处理方程解的个数．

1＋x例3：

(1)函数f(x)＝－2ln的图象可能是(

) 1－x

1＋x[解析]

由>0得函数的定义域为(－1,1)，

1－x因此排除选项A、B，

1＋x－2又因为y＝＝－1＋在(0,1)上单调递增，

1－xx－1所以f(x)在(0,1)上单调递减，由此排除C选项，故选D. [答案]

D (2)根据函数y＝|2x－1|的图象判断，当m为何值时，|2x－1|＝m无解；有一解；有两解．

[解析]

由图可知，y＝0，即m＝0时，|2x－1|＝m只有一个解；m≥1时，|2x－1|＝m也只有一个解；当0

综上所述，当m≥1，或m＝0时，|2x－1|＝m只有一解；当0

ex＋ex5．函数y＝x－x的图象大致为(

) e－e－

ex＋ex解析：y＝x－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

e－e－ex＋ex又∵f(－x)＝－xx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除选项D；

e－e－ex＋exex－ex＋2·ex2·ex2当x>0时，f(x)＝x－x＝＝1＋x－x＝1＋2x

－xxe－ee－ee－ee－1－－－－∵e2x>e0＝1，∴e2x－1>0，

∴f(x)>1且在(0，＋∞)上递减．

答案：A 16．若不等式x2－logmx＜0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．

2解析：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示：

110，内恒成立，只要y＝logmx在0，内的图象要使x2＜logmx在22在y＝x2的上方，于是0＜m＜1. 11∵x＝时，y＝x2＝，

241∴只要x＝时，

2111y＝logm≥＝logmm4. 24111∴≤m4，即≤m. 2161又0＜m＜1，∴≤m＜1，

161即实数m的取值范围是16，1.