习题3.1教学设计

教师：如果我们遇到既不容易画出图像，又不会求方程的解时，可以将问题转化成求两个函数图像交点的问题。同时也可借助计算机作出

f(x)=lnx+2x-6

的数值表和图像。（教师对学生的回答进行补充总结）

121110987654321–5–4–3–2–1–O1–2–3–4–5–6–7yx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 123456789x∙

环节反思：给予学生自行完成练习的时间,使学生熟悉函数零点的相关问题。

鼓励学生将自己的答案进行投影展示给大家，加深学生对解决数学问题的成就感，激发学生对数学学习的兴趣。借助计算机做出

f(x)=lnx+2x-6

的数值表和图像，从图像中清晰得出函数零点的个数。展示多媒体技术对数学研究问题的作用，同时为下面零点存在性定理的发现探索做铺垫。 （三）

思考归纳

通过f(x)=lnx+2x-6 的数值表和图像的观察，可知函数f(x)在（2,3）内存在零点。根据数值表和图像提出问题，引导学生进行思考。

教师：函数零点左右的图像和相应函数值具有什么特征呢？（学生观察思考）

学生：零点左右的函数图像从左至右呈上升趋势且穿过x轴，零点左右的相应函数值一负一正：f(2)<0，f(3)>0。

教师：若在函数图像上取区间[a,b]，只要满足f(a)·f(b)<0，就能说明（a,b）内一定存在零点吗？

学生：不能。（学生举反例投影展示）

121110987654321–5–4–3–2–1–O1–2–3–4–5–6–7y123456789x∙

教师：比较左右两个图像具有什么区别？根据自己的理解归纳如何判断区间内存在零点？（学生根据前面两个问题的结果，尝试自行总结零点的存在性定理）

稍后PPT直接给出函数零点的存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

进一步引导学生对定理展开思考：

思考1：如果前面条件保持不变，并且有f(a)·f(b)>0，函数y=f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点吗？

思考2：如何确保函数y=f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点呢？

根据所学内容提出课后思考：

通过函数零点的存在性定理，我们可以判断在区间(a,b)内存在零点。那么如何将函数零点存在的区间范围缩小化、精确化呢？

环节反思：延用巩固练习中的习题，给学生提供探究情境。学生自行从借助计算机形成的数值表和图像中发现归纳出函数零点存在的条件。通过左右两个不同函数图像的观察、对比，加深对函数必须连续的理解。对函数零点的存在性定理展开辨析和思考，正例巩固、反例强化，增进学生对定理的本质认识，培养学生严谨的学习态度。在所学内容的基础上布置课后探究，引导学生对零点存在区间的精确化方面产生思考，有助于下一节“用二分法求方程的近似解”的学习。

本节课以函数图像为主要载体，使学生从“数”“形”两个层面理解函数零点这个概念。通过几何画板等信息技术手段做出函数的图像并观察，加深学生对零点存在性定理的理解，使学生构建一个从具体到抽象的过程。整堂课的问题设置清晰到位，有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，体现以学生为主体的教学理念。需要注意的是，在实施教学过程中应注重对学生学习方法的指导，注重数形结合、化归与转化等数学思想的渗透，使学生对知识的掌握不仅仅停留在浅表，还在深层次的问题上有独立思考的空间。