习题2.2名师教学实录

对数函数的概念、图象与性质

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解对数函数的概念．

(2)掌握对数函数的性质了解对数函数在生产实际中的简单应用．

(3)了解反函数的概念，加深对函数思想的理解．

2．过程与方法

(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神．

(2)用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想．

3．情感、态度与价值观

(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣．

●重点、难点

重点：对数函数的定义、图象和性质．

难点：反函数概念的理解．

●教学建议

1．关于对数概念的教学

建议教师以细胞分裂和放射性物质为背景，结合指数式与对数式的互化，引出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，强调对数函数对其形式的要求．

2．关于对数函数的图象及性质的教学

建议教师在教学时类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质，讲清底数a对函数值变化的影响，教学时鼓励学生积极主动地参与获得性质的过程．

3．关于反函数概念的教学

建议教师对学生讲清对反函数应掌握到何种程度，只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数．

对数函数的概念

【问题导思】

1对于函数y＝log2x，y＝logx. 21．对自变量x有何限制？

【提示】

x>0. 2．两函数底数和真数有什么共同点？

【提示】

真数都是自变量，底数都是常数．

对数函数：一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞). 对数函数的图象和性质

【问题导思】

11．试作出y＝log2x和y＝logx的图象．

22．两图象与x轴交点坐标是什么？

【提示】

交点坐标为(1,0)．

3．两函数单调性如何？

1【提示】

y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．

2对数函数的图象和性质：

a>1

0

象

定义域

值域

图象过定点

单调性

反函数

【问题导思】

函数y＝2x和y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？

【提示】

图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．

同底的指数函数与对数函数的关系

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．

一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f1(x).

－对数函数的概念

下列函数中，哪些是对数函数？

①y＝log2x3；②y＝log2x＋3；③y＝3log8x；④y＝logxa2(x>0且x≠1，a为常数)；⑤y＝log6x.

判断所给函数是否为对数函数，即从所给函数的“系数、底数及真数”三处着眼，逐一分析是否同y＝logax(a>0，a≠1)相融合，若相同，则是对数函数；否则，不是对数函数．

函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，求实数a的值．

【解】

a2－a＋1＝1，解得a＝0,1. 又a＋1>0，且a＋1≠1，∴a＝1. 与对数函数有关的函数定义域问题

求下列函数的定义域．

3(1)y＝log2x；

(2)y＝log0.54x－3；

(3)y＝logx＋1(16－4x)．

【思路探究】

第(1)小题是三次根式，定义域和log2x的定义域相同，第(2)小题是二次根式，被开方数log0.54x－3必须是非负数，注意不要遗漏对数函数的真数是正数这个条件，第(3)小题除了真数大于0，还要注意底数大于0且不等于1.

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数的取值范围，三是按底数的取值分类，根据单调性，列不等式(组)．

把(2)换成“y＝11－logx－1”求相应问题．

211【解】

由1－log(x－1)≥0，得log(x－1)≤1. 22111∴log(x－1)≤log，

22213∴x－1≥，解得x≥. 22∴函数y＝131－logx－1的定义域为{x|x≥}. 22值域为R与定义域为R混为一谈致误

若f(x)＝log5(x2－4mx＋8)的值域为R，求实数m的取值范围．

【错解】

∵x2－4mx＋8>0对x∈R恒成立，

∴Δ＝16m2－32<0，从而m2－2<0，

解得－2

错解的错误原因在于对值域为R理解为定义域为R.值域为R时，需使u(x)＝x2－4mx＋8的函数值取遍所有的正实数．

【防范措施】

函数的定义域与值域是两个不同的概念．定义域是自变量的取值集合，

而值域是自变量在定义域内每一个取值通过对应法则，得到的函数值的集合．

【正解】

设u(x)＝x2－4mx＋8，

∵f(x)的值域为R，

∴Δ＝16m2－32≥0，即m2－2≥0，

解得m≥2或m≤－2，

故实数m的取值范围为{m|m≥2或m≤－2}．

求下列函数的值域．

(1)y＝log2(x2－4x＋6)；

【解】

(1)∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，

又f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)．

1∴函数的值域是[log2，＋∞)．

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