小结第一课时评课稿

函数的基本性质小结

教学目的：

1、理解函数的单调性及奇偶性的概念，会判断较简单的函数的单调性与奇偶性；

2、掌握函数的单调性与奇偶性的关系，并能在解题中应用。

教学重点：函数性质的综合应用

教学难点：分段函数的单调性与奇偶性的判断与应用；抽象函数问题的求解

过程：

知识要点：

1.增函数和减函数

增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的______两个自变量的值x，1x，当x＜x时，都有f(x)____f(x) 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递21212增区间

特征图象：函数f(x)在区间D上的图象是____的.

减函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D 上的______两个自变量的值x，x，当x＜x时，都有f(x)____f(x) 那么就说

121212函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间. 特征图象：函数f(x)在区间D上的图象是____的.

3．函数的奇偶性

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数,图像关于

对称. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数,图像关于

对称. 注：因f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，故具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．

4.判断函数奇偶性的两个方法

(1)定义法：判断函数的奇偶性，先判断函数定义域是否关于原点对称．

(2)图像法：

（3）性质判断法：判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质（尤其是做小题），

(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

4.奇、偶函数的性质

(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2)f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)是奇函数

(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f00；若函数f(x)是偶函数，则fxfxfx.

(4)如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性；如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相反的单调性．

f(x)－f(－x)(5)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝＋2f(x)＋f(－x). 2题型归纳：

【题型一】 求函数的单调区间 例1.(1)f(x)＝－2x2＋4x－3的增区间为________．

1(2)f(x)＝的减区间为________．

x＋1(3)作出函数f(x)＝|x－3|＋x2＋6x＋9的图象，并指出其单调区间. 【练习】：画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

【题型二】

函数单调性的简单应用

例2.(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)已知函数g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求t的取值范围. 【练习】：已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m 的取值范围．

例3.已知f(x)(3a1)x4a,(x1)是定义在(,)上是减函数，则a的取值范围是（

）

ax,(x1)11831313A．[0,] B．[,) C.

(0,) D．(,]

13x2ax5(x1)a练习：.已知函数f(x)是R上的增函数则a的取值范围是（ ）

(x1)xA．3a0 B．3a2 C．a2

D．a0

【题型三】单调区间与函数在某一区间上单调的区分

例4.若函数f(x)＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是________. 【练习】：已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)等于(

)A．－3

B．13

C．7

D．由m决定的常数

【题型四】 抽象函数的单调性及应用

例5.已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y). (1)求f(1)；

(2)证明f(x)在定义域上是增函数；

1(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．

3

【练习】：函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则(

) A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3

B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3 C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2

D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2 【题型五】利用函数奇偶性求值或参数

例6.（1）已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于

(

) A．－26

B．－18

C．－10

D．10 xa1为奇函数，则实数a=___________。

x26（3）．(2011·全国新课标理)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. （2）.设函数f(x)=【练习】：

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，

b＝________；

(2)若f(x)＝(m－2)x2－3mx＋1为偶函数，则它的单调递增区间是________．

(3)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，求函数f(x)的值域．

【题型六】、函数的性质与抽象函数问题：

例7.

已知函数恒成立. (1)判定函数(2)求证:函数的奇偶性,并证明你的结论; 在上的增函数;

.若对任意实数,都有,且当(3)解关于的不等式：【题型七】函数性质的综合应用

例8.（1）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是

(

) A．(－∞，2)

B．(－2,2)

C．(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(,0](x1x2)，有f(x2)f(x1)0，且x2x1f(2)0，则不等式A.(,2)2f(x)f(x)0解集是（ ） 5x(2,) B. (,2)(0,2) C. (2,0)(2,) D. (2,0)(0,2)

(3).已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x3x2，若不等式f(4t)f(2mmt2)

对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(

) A．,2 B．2,0

C．,0【练习】：

fx2－fx11.已知奇函数f(x)定义在(－1,1)上，且对任意x1，x2∈(－1,1)(x1≠x2)都有＜0成立，若f(2x－1)x2－x1＋f(x－1)＞0成立，则x的取值范围是(

) 22A．(，1)

B．(0,2)

C．(0,1)

D．(0，) 33fx－f－x2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．

x2, D．,22,

【课堂小结】

1.函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

判断

2.判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

【课堂检测】：

1．如果偶函数在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上

(

) A．有最大值

B．有最小值

C．没有最大值

D．没有最小值

2．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上

(

) A．单调递增

B．单调递减

C．先增后减

D．先减后增

3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(

) A．f(x)f(－x)是奇函数

B．f(x)|f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数

D．f(x)＋f(－x)是偶函数

a＋b4．若函数f(x)＝ax＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f5＝(

) 22257A．1

B．3

C.

D.

225．设函数f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________. 6．若函数f(x)x为奇函数,则a

(2x1)(xa)f（a）＋f（b）7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. a＋b(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；

(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．

解：(1)因为a>b，所以a－b>0，

f（a）＋f（－b）由题意得>0，

a－b所以f(a)＋f(－b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－b)＝－f(b)，

所以f(a)－f(b)>0，即f(a)> f(b)．

(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，

因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，

所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，

即f(1＋m)≥f(2m－3)，

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(－∞，4]．