6.3 一次函数的图像精品学案

简约而不简单的思维课堂

——“一次函数的图像”（第2课时）教学实录

2017年12月12日上午，“精准评价”促使初中生有效学习对外研究课活动在梅里中学举行，本人展示的是苏科版八年级上册“一次函数的图像”（第2课时），秉持培养学生核心素养的同时，精简教学内容，抓住问题本质，让学生真正在课堂中学会思考，成为课堂主人。现将课堂教学实录整理如下，以餮读者. 1 教学目标

（1）理解一次函数及其图像的增减性．

（2）进一步培养学生使用数形结合、从特殊到一般数学思想方法的意识．

（3）经历一次函数及其图像有关性质的探究过程，培养学生探究、合作的能力，感受思考的魅力，成功的喜悦. 2 教学实录

2.1 复习引入

教师：同学们，在上节课的学习中，我们学习了如何画一次函数的图像以及探究了一次函数解析式中k、b的正负性与图像经过象限的关系，我们一起来回忆一下.当k>0时，我们知道图像一定经过哪几个象限？

学生（众）：一、三象限. 教师：好的.如果我再加上一个条件b>0呢？图像一定经过哪几个象限？

学生（众）：一、二、三象限. 教师给出上节课的归纳表格：真棒！按照这样的讨论方式，我们可以列出如下四种情况.注意，在记忆的时候我们是先确定k的正负，再去讨论b的正负.

k>0 k<0

y

y

一一

、、二x

x

b>0 二0

0

、三、四

b<0 一、三、四y

x

二、三、四y

0

0

x

教师：请大家观察表格中函数的图像，为什么有的图像是像上山一样逐渐上升，而有的却像下山一样逐渐下降呢？一次函数具有怎样的性质呢？让我们今天继续来探究“一次函数的图像”. 2.2探究新知

教师：一次函数有这么多，相对应的图像就有很多，我们该怎么来探究它们的性质呢？

学生1：先任意找一条来看看情况. 教师：不错，这是一个好方法!请在事先准备好的平面直角坐标系中，画出

一次函数y=x-3的图像.我们知道画一次函数的一般步骤是？

学生（众）：列表、描点、连线. 教师：后来我们又发现一次函数的图像形状是？

学生（众）：一条直线. 教师：所以，我们在画一次函数的图像时，只需要确定几个点就够了？一般选取什么点呢？

学生（众）：2个点.与x轴和y轴的交点. 教师：很好，同学们掌握的不错！请问，现在你会选用哪种方法来画一次函数y=x-3的图像呢？

学生（众）：两点法. 教师：老师现在有一个问题想考考大家，

“已知点A-2，y1,B1,y2在函数y=x-3的图像上，你能比较y1、y2

的大小吗？”

学生2：可以将-2、1分别代入到解析式中，计算出y1、y2的大小再比较. 教师：这个方法不错！我们一起来算一下y1、y2的大小（教师在黑板上板书过程）除了这个方法还有其他的方法来比较y1、y2的大小吗？（教师提醒）既然点在函数图像上，那你们能在图像上找到这个点吗？谁愿意来找找看？

学生3（上前来演示，在图像上标出了点A的位置）. 教师：你真是太棒了！那y1又在哪？

学生3（过点A向y轴作出一条垂线）. 教师（PPT上放映出y1）：你真聪明！还有一个点，谁愿意来试试？找找y2在哪？（教师有意将机会留给某位基础较差的同学）

学生4（上前来演示，在图像上标出了点B的位置，过点B向y轴作出一条垂线）

教师（PPT上放映出y2）：你真是太棒了，请大家为他鼓掌！从图像上来看y1、y2都在Y轴上，并且y2高于y1，所以由纵轴从下到上逐渐增大的特性可知y1y2.如果，老师再给出一个点C（2，y3）呢？你能比较y1、y2、y3的大小吗？

学生（众）：能,y1y2y3. 教师:如果，再给出一个点D（4，y4）呢？你能比较y1、y2、y3、y4的大小吗？

学生（众）：y1y2y3y4. 教师:真不错！你们是怎么发现的？这里面有没有什么规律？

学生概括难度较大. 教师：没关系，让我们一起来分析一下!刚才给出的几个点的横坐标（教师给出表格）从左向右看，你们发现x的值有怎样的变化规律？

...1 2 4 5 x

–2 ...

学生（众）:逐渐增大. 教师：与之相对应的y值呢？

1 2 4 5 x

...

-2 ...

y=x-3

...

-5 -2 -1 1 2 ...

学生（众）:也在逐渐增大. 教师：这是我们从数据上观察到的规律.让我们再从图像上来观察观察.你们能说说这些点位置的变化吗？

学生5:我先在图像上找出了这些点的位置，发现它们越来越高，纵坐标就越来越大. 教师：那横坐标的变化规律呢？

学生5:也在变大. 教师：完整地说就是? 学生5：横坐标在越来越大，纵坐标也在越来越大. 教师：你的观察能力和语言表达能力真是太棒了！你们还有别的表达方式吗？

学生6：y在随着x的变大而变大. 教师：你真棒！我们从图像上除了能看到坐标的变化规律，还能看到图像呈上升的趋势.于是我们可以得到这样的猜想（板书）——y在随着x的变大而变大，图像呈上升趋势.

教师（总结）：同学们我们再来回顾一遍刚才得出猜想的过程，其中我们先看了数据的变化规律，然后又观察了图像，这让你想到了数学上的什么方法？

学生（众）：数形结合的思想方法. 教师：对了，就是数形结合的思想方法！伟大的中国数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.不愧是数学家，他对数形结合的思想领悟至深！言归正传，我们刚刚只是找了一条特殊的直线来进行探究，这不足以说明这个结论的正确性，我们还需要多找几条与之类似的直线来对它进行验证！请同学们再观察观察这条直线y=x-3，图像的位置有什么特征吗？

学生7：经过一、三、四象限. 教师：好，那你们说说在坐标系中符合这样位置特征的直线解析式应该满足什么条件？

学生8：k>0,b<0. 教师（PPT上任意给出一条符合该条件的直线）：确实符合我们说的猜想.那你们还能找到一些别的直线也符合猜想的吗？这两个条件必须都满足吗？

学生9：k>0,b=0. 学生10：k>0,b<0. 教师（PPT上任意分别给出两条符合该条件的直线）：同学们都很聪明！你们看看这几条直线都符合我们的猜想吗？由此，你们知道当直线解析式满足什么条件时，y会随着x的增大而增大呢？与b有关吗？

学生（众）：当k>0时,与b无关. 教师：刚才我这些直线都是任意画的，你也可以再画几条符合k>0这个条件的直线来验证这个猜想.这时，我们可以大胆地下结论了（板书）——当k>0时，y随着x的增大而增大，图像呈上升趋势，与b无关. 教师（总结）：同学们我们再来回顾一遍刚才的探究过程，刚刚我们只是找了一条特定的直线来观察特征，后来又任意找了几条与它特征相同的直线来验证猜想，这其实是我们数学中常用的一种数学思想方法？

学生（众）：从特殊到一般的数学思想方法. 教师：很好！看来大家对刚刚的探究过程理解的还是比较深入的，那接下来你知道我们要研究什么情况吗？

学生11：当k<0的时候. 教师（PPT上给出图像，k<0,b分别是大于0、等于0、小于0的情况）：你们能说说当k<0的时候，图像的规律吗？

学生（众）：当k<0时，y随着x的增大而减小，图像呈下降趋势，与b无关. 教师（归纳总结并板书）：一次函数y=kx+b（k≠0）的性质——

当k>0时，y随x的增大而增大，从左到右看函数的图象是上升的；

当k<0时，y随x的增大而减小，从左到右看函数的图象是下降的；

注意：一次函数的增减性与b无关. x2,y2在函数y=kx+b教师：老师现在来考考大家，如果已知两个点x1,y1、（k>0）的图像上，且x1x2，你能比较y1、y2的大小吗？

学生12：y1y2.

教师：如果把这个问题中的k>0改成k<0呢？结果会如何？

学生13：y1y2. 教师：这其实就是一次函数增减性质的数学语言描述，让我们再一起来写写看看（教师在黑板上板书）.

2.3 小试牛刀

1.下列一次函数中，y的值随x的增大而减小的有______. 1y10x92y-0.3x93y2x-74y4-x

2.函数y=kx+2，当k

时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而

. [设计意图] 这两题都是考察学生对一次函数增减性基本概念的理解. 变式1：

函数y=（k-1）x+2，当k

时，y随x的增大而增大，当k

时，y随x的增大而减小. 变式2：

函数y=（k-1）x+2，取一个你喜欢的整数k，

1）使y随x的增大而增大；

2）使y随x的增大而减小. [设计意图] 这两道变式题与原题比较，多了一步计算、取值的工作，是对概念的进一步应用. 3.已知点

-4，y1, 2，y2都在一次函数yx2的图像上，则y1与y2

的大小关系是

（

）

A. y1y2

B.y1y2

C. y1y2

D.不能比较

[设计意图] 这道题是引入本节课内容的切入点，也是一次函数增减性的数学表示方式，通过本节课的学习，学生要形成用“一次函数增减性”的观念去考虑问题，而不再是代入求值比较大小. 变式：已知点

-5，y1, 2，y2都在一次函数y1k2x2的图像上，则

y1与y2的大小关系是

（

）

A.

y1y2

B.y1y2

C. y1y2

D. 不能比较

[设计意图] 这道变式题的设计与原题比较，就是逼迫学生用“一次函数增减性”去考虑问题，如果再用代入求值的方法去做就十分的麻烦，也是希望学生进一步形成用“一次函数增减性”的观念去考虑问题. 2.4 例题演练

例1、已知一次函数y=(2a-3)x+4-b,根据下列条件，分析确定a,b的取值范围：

（1）y随x的增大而增大；

（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；

（3）函数图象经过二，三，四象限. [设计意图] 今天的学习内容是与上节课学习内容一脉相承的，一次函数k、b的正负性决定函数的图像位置与一次函数的增减性密不可分，该题第一问简单地考察了一次函数的增减性——只与解析式中的k有关；第二问考察函数与y轴的交点——只与解析式中的b有关，即与k无关；第二问考察函数在象限中的位置

——与解析式中的k、b都有关；通过这三个小问，学生可以一下子分清解析式中的k、b到底对一次函数产生了什么影响. 2.5 小结与思考

教师：通过本课时的学习，你们有什么收获？

1.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：

当k>0时，y随x的增大而增大，从左到右看函数的图象是上升的；当k<0时，y随x的增大而减小，从左到右看函数的图象是下降的. 2.进一步学会使用数形结合和从特殊到一般的数学思想. 作者语：本节课是学生第一次接触函数的性质，是以后学习一切函数的基础，所以本人希望做到教学内容简单而透彻，重点放在性质的形成和探究上，抓住增减性的数学表示本质，让上课内容更有深度，让学生在学习过程中逐步形成“从‘形’到‘性’”的思维模式.