完全平方公式的应用第二课时教案

《完全平方公式》教学案例及设计说明

银川十六中 惠志哲

一、

内容与内容解析

内容：

北师大版义务教育教科书七年级数学下册第一章第6节——《完全平方公式》。

解析：

“完全平方公式”是继“平方差公式”后的另一个重要公式，是因式分解、分式运算、解一元二次方程、函数等后继学习的重要基础。这一节教材安排两课时，考虑到我班学生实际，我这样安排：

第一课时——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用

第二课时——乘法公式的灵活运用。

今天我设计的是第一课时的内容——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用。通过几何拼图，让学生了解公式的几何背景，从而加深学生对公式的理解，培养学生“数形结合”的建模思想；从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊→一般→特殊”的探究方法。通过乘法公式的学习，可以简化某些整式的运算，培养学生的求简意识以及简便方法巧算的意识。

二、目标与目标解析

目标：

1、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。

2、经历探索公式的过程，体验知识的发生与发展，感受利用归纳、数形结

1

合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳和概括能力。

3、在探索公式和解决问题的过程中，学会与他人合作交流。在公式的学习及运用中积累学习的经验、体验成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。

解析：

《课程标准》要求：在“数与代数”的教学中，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，介绍有关代数内容的几何背景，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。而本节教学要求学生会推导乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。

我班学生从七年级以来，我即采用“说测导练”四步法的教学模式，利用学案导学，他们养成了比较好的自主学习习惯，并有一定的动手探索和合作交流能力，由此我制定了以上教学目标。

三、教学问题诊断分析

学生的认知基础：已经学习了多项式的乘法法则以及平方差公式，具有一定的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化归能力。但理解公式的几何意义、结构特点有一定困难。且容易出现以下错误：

（1）符号的错误：如(ab)2=a22abb2或(ab)2=a22abb2

（2）系数不平方的错误：如(2ab)2=2a2+4ab+b2

（3）系数漏乘的错误：如(2ab)2=4a2+2ab+b2

（4）公式运用错误：如(ab)2=a2+b2，(ab)2=a2-b2

其原因是学生只了解公式的表面形式，而未真正掌握公式的本质特征。所以在教学中尽可能多地让学生动手操作，参与公式的探索过程，去自主探索、

2

归纳得出公式，进一步培养学生动口、动手、动脑的习惯和善于观察、大胆创新的思维品质。

基于此，本节课的重点是：了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。

而本节课的难点是：掌握公式的结构特征，能运用公式进行计算。

为了更有效突出重点，突破难点，我对教材内容进行了重组，先通过几何背景拼图让学生直观感知公式，再利用多项式的乘法验证公式，然后运用公式解决问题从而内化新知。在教学中我以实践操作为主，直观演示、设疑诱导为辅。精心设计问题情境，诱导学生思考、操作，激发学生探究知识的欲望，使学生始终处于主动探究的积极状态，从而掌握公式的结构特征并能初步运用公式进行计算。

四、教学策略分析

新课程理念强调“经历过程与获取结论同样重要”，故我采用了我校的“说测导练”四步法教学模式，采用学案导学法。以学案为主导，让学生去自主探究，老师适时引导、点拔。整个过程充满了师生、生生之间的交流互动，体现了教师的主导，学生的主体作用。

在学法指导上，本节课针对学生的认知规律，根据学法指导的自主性和差异性原则，指导他们动手操作、合作交流，体验发现问题、探索问题和解决问题的学习过程，参与知识的发生、发展、形成的过程，从而掌握知识。

五、教学条件支持

1、教具：学案、课件、教材、边长分别为a和b的正方形纸片以及长为a宽为b的长方形纸片各2块。

3

2、提前一天，让学生预习自学，把自己仍有困惑的地方作了标记。

六、教学过程设计

教学环节

教师活动

师：同学们，今天的学习之旅又将启航，你们学生活动

答：准备好了。

设计意图

《新课程标准》强调“数学来源于生活，并服务于生活”。本环节以热播电视剧《聪明小空空》为背景，紧扣生活，用趣味表演的形式让学生体会数学与生活的联系，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，打开学生的求知欲望，培养学生对数学的热爱和运用数学的能力，同时，也是对数学建模思想的一种培养。在这里提出问题，更能让学生感受到数学的价值，很自然的引出课题。

本环节是在学生课前已自学的基础上进行的，由于各组成员是按优生、中生、学困生分配的，故组内的讨论、交流能让学生在互帮互助中，在平等的氛围中去答疑解惑，达到对知识的明了目的，有部分学生通过合作不能解决的问题再由老师点拨、讲解。美国教育家布

说

三名同学表演下面情景：

某日，师傅将小空空和没完叫到面前。

准备好了吗？

师傅：空空、没完，今天有三个正方形的师：哪组同学愿意与我庭院需要打扫，其中最大庭院的边长为（a+b）米，其余两个庭院的边长分别为a米和b米，们分享你们的表演？

你们自行分配，一人打扫一部分吧。

空空、没完：是，师傅。

空空：没完师兄，我们一人打扫最大的那提出问题：没完师兄占个庭院，另一人打扫另外两个庭院。你先选，了便宜了吗？为什么？

怎样？

没完听了，心想：傻瓜都知道，打扫一个

庭院更轻松，都说空空聪明，现在看来也不过

如此，嘿嘿嘿。

师：同学们，想真正弄便说：“好吧，我是师兄。那我打扫最大清为什么吗？

的庭院，让你占点便宜。”

空空笑了笑：谢谢师兄了。

师：那让我们进入今天师傅摇了摇头：自作聪明，自作聪明哪。

的学习吧。

学生们会七嘴八舌的说出自己的意见。

板书课题：1.6.1 完全生：想。

平方公式

师：课前大家已对教材进行了自学，把自己仍有困惑的地方作了标记。现在请各组成员通力合作、互帮互助、答疑解惑，然后我们请小组代表上台来展示改组的学习成果。

各小组成员针对自己标记的困惑在组内进行请教、讨论、交流。小组成员在交流讨论中把自己的困惑解决，若有部分仍有困难再由老师引导、点拨。

（四）动手拼图: 请大家用准备好的纸片来拼出没完打扫的庭院面积和空空打扫的庭园面积。并把示意图画在下边方框内。

空空

没完

4

测

导

师：现在是检验大家自学成果的时候了，请自愿展示的小组代表上台展示并讲解，其他小组成员指正并补充。

小组展示结束后讲解例题：计算(2x-3)

解析：

(2x- 3)

(a + b)

=(2x)-2·2x·3+(3)= a2 22222

+2·a· b +b

2

教师补充、完善，最终解决问题并讲解：

我们把上面两个公式(a±b)=a±2ab+b称为完全平方公式。把a±2ab+b称为完全平方式

22222（五）观察拼图，尝试填空：

鲁纳认为：“知识的获取是⑴空空打扫的庭院面积为＿＿＿＿＿＿＿＿

一个主动的过程，学习者不⑵用两种形式表示没完打扫的庭院面积：

①从整体的角度： 应该是信息的被动接受者，②从部分的角度： 而应是知识获取的主动参⑶他们打扫的面积一样吗? ⑷比较没完打扫的庭院面积的两种不同表示，与者”。本环节注重鼓励每你发现什么？

猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

个学生亲自实践，动手操（六）验证猜想，初识公式：

作，把时间还给学生，把空⑴用多项式的乘法法则验证猜想：

间留给学生，让学生经历知

⑵得出公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

识的发生过程。

文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

伯利亚：“学结构特征：左边是＿＿＿＿＿＿＿，右边是＿数学家乔治·＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

任何知识的最佳途径是自学生活动：各小组成员先行独立完成，然后通因为这种发现理过小组交流，以优帮中、中帮学困的方式让一己去发现，部分没有独立完成的学生得以解惑，教师在各解最深，也最容易了解其中小组间适时引导、点拨。

2的规律、性质和联系”。本按要求计算(a-b)

⑴用多项式的乘法法则

⑵用完全平方公式公环节的设计旨在先让学生式

自主探究，然后在组内大胆

由此得出另一个公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿（差的讨论，充分交流，合作探的平方公式）

用文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿究，统一意见，然后鼓励学问题：你能用拼图说明吗？（各小组在组内进生大胆地回答问题，老师适行拼图说明）

时引导，解决问题，最终形 然后请仍有疑问的同学提出自己的问成两个公式的结构特征，体题，其他同学为其解答。

现公式的结构美，并理解它

222学生自主探究出(ab)=a2ab+b们的区别与联系，能真正的公式，并明白几何解释后，引导学生观察这两理解差的平方实质也是和个公式的结构特征，让各组成员思考、交流、的平方，可统一成一个公讨论。

式，渗透建模思想。生过程。

⑴这两个公式有何区别与联系？

⑵你能用简洁的语言来描述公式特征吗？

5

练

师：通过大家的共同努力，我们已对公式222(a+b)=a+2ab+b有了较深的认识，现在让我们来迎接新的挑战吧。

师：学习知识是为了运用知识解决问题，接下来让我们运用所学知识解决以下问题。

鼓励学生探索算法的多样化并上台展示自己的成果。

必要时教师补充并板书其解答过程。

学生活动：学生独立完成例1，然后选一名同学上台展示其结果并讲解，如有误其他同学为其指正。

例1：利用完全平方公式计算：

22⑴ (2x-3) ⑵(4x+5y) 2⑶(mn-a) 分析：认清各式特征，正确选择公式，准确代入公式，再化简。

练习：运用公式计算：

⑴ 102

⑵ 197

名学生上台展示其结果并讲解，如有误，其他同学指正；有不同解法的学生上台展示并讲解自己解法。

22 例1直接运用公式计算，要求学生熟练运用公式，加深学生对公式结构特征的认识，遵循及时巩固的原则，找准公式中的a和b，并发展学生的符号感。

练习要求学生通过转化，灵活运用公式计算，体会公式的便捷。我们要鼓励学生敢于发散思维，大胆创新，使得知识教学和能力培养结合起来，渗透类比思想，培养学生的创造性思维能力以及简便方法巧算的能力。

目

标

检

测

设

计

教师引导学生按要求完成闯关一和闯关二的内容。

闯关一：拼拼就能赢，

抢答开始了! 德国教育学家第斯多惠：1、判断正误，如有误，请改正。（口答）

“教学的艺术不仅在于传 ①

(ab)2=a+b ②(ab)=a-2ab-b

③

(a2b)2=a+2ab+2b ④

(xy)2=x+2xy+y2

以小组为单位抢答，答对的小组获得加分。

闯关二：小组必答

1、计算：

222222授本领，更在于激励、唤醒和鼓舞”。闯关一通过抢答，活跃了课堂气氛，打开了学生的思维，既加深了学生对公式的理解，又让学生在活动中归纳小结。

闯关二旨在进一步加强学生对公式的理解和运用。这部分学生可能会出现问222题，这也正是学生对公式理112①(2a4b) ②(ab) 23解、运用和熟练程度所需要 ③(2a1)(2a1)

解决的问题，对学生中出现

6

必要时老师重点讲解学生们不能解决的问题。

2、填空。

①a+ +b=(ab)2 ②x+ +4y=(x2y)

③4x-12xy+9y2=( )2222 的问题，应鼓励其他同学为22其指正，必要时老师应重点讲解，达到解决问题的目的。

222④9m+ +n=(3m+ )2 3、请你编出1-2个利用公式请组

ab2a22abb2计算的式子，内其他成员计算。

学生独立完成此部分，选2名同学上台展示其结构并讲解，如有误，其他同学指正。

小结

通过本节课的学习方法:先放手让学生独立归纳，再在小组交流后，选代表在全班发言，教师引导其他同学进行补充。

本环节旨在通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验，巩固知识技梳理

你有什么收获，还有什

么困惑？

反思

若其他同学也有同样的新知

困惑，由老师进一步讲对学生提出的，先让其他同学试着解决，

能，提高认知水平。

作

业

布

置

巩

固

新

知

解。

1、必做题：P26

习题1.11 1、2、3题。

2、课外延伸：

(1) 已知(x+y)=49，(x-y)=1，求下列各式的值: ①x+y ②xy （2）计算 ①(abc)

22222

教材是知识的升华、概括和总结，本着以全体学生为主体的原则，考虑到学生学习能力的差异，特设计了必做题和课外延伸两部分，既要面向全体学生，让每个学生都有收获，体验成功的喜悦，又要给基础较好的学生充分的发展空间，满足不同学生的不同需求，同时，为下节课灵活运用公式打下基础。

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七、板书设计：

1.6 完全平方公式

一、(ab)2=a+2ab+b 二、(ab)2=a-2ab+b 2222 三、两个公式的文字叙述 四、两个公式的结构特征

（主板书）

（辅助性板书）

八、教学评价

1、注意评价内容的多元化

通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作，表演，尝试解答各种问题等活动，使教师从学生思维活动、对有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的积极性等多层面地了解学生。

2、注重对学生学习过程的评价

在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度，合作交流的能力，独立思考、发现问题、解决问题等能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或创新给予鼓励性评价。

附：

学

生

活

动

展

示

区

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