三角形的高教学实录与评析

第课时

三角形的高

1.经历折纸、画图等活动了解三角形高线的概念,画出任意三角形的高.

2.了解三角形的三条高所在直线交于一点.

通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力.

通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活.

【重点】

三角形高线的概念,会画任意三角形的高.

【难点】

画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P88~90.

导入一:

[过渡语]

同学们,我们从现实生活中寻找到了好多三角形的踪影,从房梁上发现了一些三角形中特殊的线段——三角形的中线和角平分线,并通过折纸等方式画出它们,还熟练地运用其解决了很多问题.这一节课我们将继续寻找三角形房梁中的特殊线段.

谁能说说:立柱和横梁之间有什么特殊的位置关系?

[处理方式]

由学生口答完成.(用三角尺的直角对准图形进行重叠演示来验证)

[设计意图]

从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫作用.

导入二:

[过渡语]

同学们,猜猜看,在三角形中除了三角形的中线、角平分线,还有没有其他的线段?你还记得什么是垂线吗?下面我们一起看看什么是三角形的高线.

【活动内容】

1.什么是三角形的中线?

2.什么是三角形的角平分线?

3.垂线的定义是什么?

4.如何过直线外一点画已知直线的垂线?如何过点A作AF⊥BC?

[处理方式]

1,2,3题由学生口答,4题用三角尺,根据放、靠、推、画的步骤可以画出.巡视,指导后,课件演示画法并说明,这种作法实际上就是“过直线外一点作已知直线的垂线”,如图,就是过点A作直线BC的垂线,可借助三角尺完成,仅取垂线段AF而已.

[设计意图]

让学生先回忆上一节课三角形的中线和角平分线以及过一点如何作一条直线的垂线,一是可将所学习的三角形的中线、角的平分线联系起来,掌握它们的本质特征,又为高线的引入做好铺垫;二是渗透运动的观点,使学生感知用运动的观点看问题.动手画图,课件演示,加深对画法的理解和掌握,同时也为后继学习作三角形的高埋下伏笔.

[过渡语]

下面请大家根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,2分钟后看看谁收获多多,又是谁两手空空.

探究活动1

三角形的高线概念

思路一

看谁完成得又快又好.

1.从三角形的一个顶点向

作垂线,顶点和

之间的

叫做三角形的高线,简称三角形的高.

2.三角形的高是一条

(

)

A.直线

B.射线

C.线段

D.不确定

3.如图所示,线段AF是BC边上的高,因为AF是BC边上的高,所以

⊥

,所以∠

=∠

.

4.如图所示,CD是△ABC的高,且CD=5,S△ABC=25,则AB=

.

[处理方式]

给学生两分钟时间,学生根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,带着问题进行自主探究;教师前后巡视,提示学生找出重点字句.检查他们对于新课导入问题的完成情况.对个别没有自学意识等待老师“授之以鱼”的学生进行鼓励:本节课知识并不难,你只要认真看、大胆说,这节课最棒的肯定是你.

[设计意图]

从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫作用.

思路二

如图所示的三角形的房梁,立柱与横梁有什么特殊的位置关系呢?

[处理方式]

抽象出数学图形并出示,立柱与横梁互相垂直.当立柱AF与横梁BC垂直时,我们通常也说立柱AF是这个三角形房梁的高.通过刚才作三角形的高和房梁的高,我们可以知道AF这条线段就是三角形的高.三角形的高可以准确地叙述为:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.(课件出示)三角形的高线是垂线段,是三角形的一个顶点和过它向对边所在的直线作垂线的垂足之间的线段.表示法:AF⊥BC,则AF是△ABC的BC边上的高;AF是△ABC的BC边上的高,则AF⊥BC,所以∠BFA=∠AFC=90°.

[设计意图]

通过动态运动使学生感知到高线是具有特殊位置的线段,又通过房梁的立柱更直观地感受到三角形高的意义,在丰富的感性材料的基础上,学生比较容易接受三角形高的意义,但理解不准确,对概念的叙述不准确,通过逐步引导,使学生渐渐认识到数学语言的准确性和简洁性,利用引导鼓励学生自说与教师直接告诉相结合,既起到训练学生使用数学语言的能力,又节省不必要的时间浪费.

探究活动2

锐角三角形的高线

思路一

利用你的锐角三角形纸片:

(1)你能画出这个三角形的高吗?

(2)你能用折纸的方法得到它吗?

(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.

[处理方式]

过顶点B,C也可以作高,还可以作三角形的两条高线(在原图中作高BD和CE).如图所示.AF是△ABC的BC边上的高;BD是△ABC的AC边上的高;CE是△ABC的AB边上的高.

结论:锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.

[设计意图]

通过让学生动手操作、画图等活动,掌握锐角三角形高的意义、作法和性质;让学生经历操作实践的过程,发现知识、学习知识、掌握知识;这样既让学生感受到知识的形成过程,印象深刻,同时也提高了学生的实际操作能力.

思路二

[过渡语]

大家还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”吗?选出一名同学用直角三角板来画.一放二靠三推四画.到黑板演示.

拿出你准备的锐角三角形,过它的一个顶点A,你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看,你准行!

[处理方式]

做一做:每人拿准备好的一个锐角三角形纸片,尝试画这个三角形的高.生用三角板或量角器试着画出高.师巡视学生画的情况,强调指出:千万不要忘记标明:垂直的符号和垂足的字母.最后选一名同学到黑板板演画出锐角三角形的三条高.学生走到黑板前拿着三角尺演示,其他学生目光跟随着,教师及时表扬:这位同学画得非常漂亮!除了用三角尺画高,你还有别的方法吗?

你能用折纸的方法得到它吗?试一试!生动手折叠,小组内互相交流折叠方法.师多媒体展示折纸的方法:对折三角形的一边,使这边所在的直线重合,调整折痕的位置,使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合,折痕就是这条边上的高.和学生一起实物演示,引导学生仔细观察锐角三角形的三条高,你发现什么秘密了吗?这三条高之间有怎样的位置关系?将你的结果与同伴交流交流.教师根据学生的口述,用多媒体展示相关内容并强调各内容的关键词.

[设计意图]

让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线,为下面作三角形的高线做准备.培养学生善于找到新知识与旧知识的联系,体会学习是一个连续的过程.通过用三角尺或折纸的方法画出锐角三角形的三条高,并总结性质,从而发展学生空间观念,培养动手能力.

探究活动3

直角三角形的高线

再利用你的直角三角形纸片:

(1)你能画出这个三角形的高吗?

(2)你还能用折纸的方法得到它吗?

(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?

[处理方式]

小组讨论交流.

画一个直角三角形,并尝试画出它的高(教师巡视,学生讨论直角三角形的高).直角三角形也有三条高,如Rt△ABC的三条高分别是AC,BC,BD,即AB是BC边上的高,BC是AB边上的高,BD是AC边上的高.直角三角形有一条高在三角形的内部,另外两条高分别是直角三角形的两条直角边;这三条高也相交于一点,这个交点不在三角形的内部,而与这个直角三角形的直角顶点重合.

结论:直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.

[设计意图]

直角三角形的高,特别是两直角边上的高,学生掌握是难点,因此让学生充分讨论交流,教师适时引导,通过对比,联系三角形高的意义,确认直角三角形高的特殊性,进而总结三条高相交于一点的性质.

探究活动4

钝角三角形的高线

再利用你的钝角三角形纸片:

(1)你能画出这个三角形的高吗?

(2)你还能用折纸的方法得到它吗?

(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.

[处理方式]

(小组讨论,钝角三角形高的作法)

画一个钝角三角形,并尝试作出它的高.

(巡视引导)如图,它们分别是:AD,BE,CF.为了更准确地说明,我们可以这样叙述:AD是△ABC边BC上的高,BE是△ABC边AC上的高,CF是△ABC边AB上的高.

通过图形可以看出,它们不交于一点(课件演示,延长三条高相交于点O).三条高所在的直线相交于一点.

钝角三角形的三条高线,有一条在三角形的内部,另外两条在三角形的外部,我们可以通过画图得到它,虽然这三条高不相交于一点,但是,这三条高线所在的直线相交于一点,这个交点在三角形的外部,这样的话我们综合锐角三角形、直角三角形的高线的性质,可以得出:三角形的三条高所在的直线交于一点.

[设计意图]

钝角三角形的高及性质,学生更感困难,充分让学生动手画图,小组讨论,展示交流,紧扣三角形高的意义和过一点作已知直线的垂线的方法,再加上教师的点拨,多种感知活动交错进行,达到掌握知识的目的,同时联系对比三种三角形的高线的位置,概括三角形高线的性质,有利于提高学生的概括能力和表达能力.

[知识拓展]

任何三角形的角平分线都在三角形的内部,高却不同,直角三角形和钝角三角形的高都有一条高在其内部,直角三角形另外两条高在边上,钝角三角形的另外两条高在三角形的外部.

1.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.

2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.

3.直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.

4.钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.

1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角三角形

(

)

解析:三角形三条高的交点的位置与其形状有关.在三角形内是锐角三角形,在三角形外是钝角三角形,在顶点是直角三角形.故选B. 2.三角形的三条高相交于一点,此点一定在

(

)

A.三角形的内部

B.三角形的外部

C.三角形的一条边上

D.不能确定

解析:锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点;钝角三角形的三条高的交点在三角形外部.所以A,B,C三种情况都有可能.故选D.

3.如图所示的是一个直角三角形,底边长10,对应的高是

;底边长8,对应的高是

;底边长6,对应的高是

.

解析:如图可知底边长10,对应的高是4.8;底边长8,对应的高是6;底边长6,对应的高是8.

答案:4.8

6

8

探究活动1

探究活动2

探究活动3

探究活动4

第4课时

三角形的高线概念

锐角三角形的高线

直角三角形的高线

钝角三角形的高线

一、教材作业

【必做题】

教材第91页习题4.4知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第91页习题4.4问题解决第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,虚线部分是小刚作的辅助线,则你认为线段CD为

A.边AC上的高 B.边BC上的高

C.边AB上的高 D.不是△ABC的高

(

)

2.下列关于三角形的高的说法正确的是

A.直角三角形只有一条高线

(

)

B.钝角三角形的高线都在三角形的外部

C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角三角形

D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内部

3.如图所示,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点,求∠ABE,∠ACF和∠BHC的度数.

【能力提升】

4.如图所示,△ABC的两条高线AD,BE交于点F,∠BAD=45°,∠C=60°,求∠BFD的度数.

【拓展探究】

5.如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,求∠BPC的度数.

【答案与解析】

1.C(解析:由三角形高线的定义可知线段CD为边AB上的高.故选C.)

2.D(解:任意三角形都有三条高,故A错误;钝角三角形的高线有两条在三角形的外部,一条在三角形的内部,故B错误;只有一条高线在三角形内的三角形可能是钝角三角形,也可能是直角三角形,故C错误;锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内部,故D正确.故选D.)

3.解:因为在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,所以∠A=180°- 66°- 54°=60°,又因为BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,所以∠AEB=∠AFC=90°,所以∠ABE=∠ACF=30°,在△BHC中,∠HBC=66°- 30°=36°,∠HCB=54°- 30°=24°,所以∠BHC=180°- 36°- 24°=120°.

4.解:因为AD,BE是△ABC的两条高线,所以∠ADB=∠BEC=90°,故∠EBC=180°- 90°- ∠C=90°- 60°=30°,而∠BFD=180°- ∠ADB- ∠EBC=90°- 30°=60°.

5.解:因为∠A=50°,BE⊥AC,所以∠ABE=90°- 50°=40°,又因为CD⊥AB,所以∠BPC=180°- ∠BPD=90°+∠ABE=130°.

用动态演示复习三角形的中线和角平分线的概念和性质,学生很容易联想到三角形的高,引入三角形高的概念顺其自然,在探究三角形的高的性质时,特别是直角三角形和钝角三角形,让学生充分交流、讨论、展示、操作,达到眼、耳、手、口、脑多种感官参与学习活动,在感官的基础上,概括和总结性质,然后再加以应用,符合学生的认知规律,对于难点,适时进行讲解、点拨、启发、诱导,及时进行反馈矫正.

对学生数学语言的使用和训练还有些欠缺,有一些还是直接给出的,有时对学生不准确的语言默认,顺其自然.

学生动手折纸、画图时耗费的时间较多,致使后面的教学时间比较紧张,对学生的个性差异关注不足.

加强对数学语言训练的力度,初步让学生感知到数学语言的准确性和简洁性,学会用准确的数学语言进行表述和画图;加大巩固训练的力度,设计形式多样的题目,训练学生的思维;对学生操作、折纸、画图进一步整合,努力提高课堂教学效率