幂的乘方设计意图

幂的乘方教学设计

一、教学目标

(一)知识目标

1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. (二)能力目标

1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力. (三)情感目标

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 二、教学重难点

（一）教学重点

幂的乘方的运算性质及其应用. （二）教学难点

幂的运算性质的灵活运用. 三、教具准备

投影片三张

第一张：做一做，记作(§1.4.1 A) 第二张：例题，记作(§1.4.1 B) 第三张：练习，记作(§1.4.1 C) 四、教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］我们先来看一个问题：

一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？

［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=(102)3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米，此时正方体的体积变为V1=(103)3立方毫米.

［师］(102)3，(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家可以独立思考. ［生］可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米. 我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍. ［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数. ［师］是的！我们再来看(102)3，(103)3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方. Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质

出示投影片(§1.4.1 A) 做一做：计算下列各式并说明理由. (1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n. ［师］我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们. ［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68. ［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？

［生］第①步的理由是利用了幂的意义.(62)4表示4个62相乘；第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加. ［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？

［生］结果的指数8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6. ［师］接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？

［生］可以！

［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误. ［生］(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3;

(3)(am)2=am·am=am+m=a2m; mmm(4)(am)n=aaa

n个amn个mmmm=a=amn. ［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即

(am)n=amn(m,n都是正整数) 用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级. Ⅲ.例题

出示投影片(§1.4.1 B) ［例1］计算：

(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3; (4)－(x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6－(a3)4. ［例2］如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

图1－14 ［师］我们首先看例1的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式(am)n=amn中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答. ［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

(2)(b5)5=b5·b5·b5·b5·b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25; (3)(an)3=an·an·an=an+n+n=a3n. ［师］很好！下面我们再来试做例1中(4)、(5)、(6)题.

［生］(4)－(x2)m表示(x2)m的相反数，所以－(x2)m=－m个2222x2x2x2m个x2=－x=－x2m; (5)(y2)3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，(y2)3·y=(y2·y2·y2)·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7; (6)2(a2)6－(a3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以

2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12. ［师］接下来，我们再来看幂的乘方在实际中的应用——例2. ［生］根据例2中的前提条件，可得

木星的体积是地球体积的103倍；太阳的体积是地球体积的(102)3倍即106倍. ［师］很好！我们观察例2图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系.比较木星、太阳、地球三个球体的大小，可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多. Ⅳ.练一练

出示投影片(§1.4.1 C) 1.计算：

(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4·x2; (4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2; (6)x·x4－x2·x3. 2.判断下面计算是否正确？如有错误请改正：

(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24. ［师］我们首先来回顾一下(am)n=amn(m、n都是正整数)是怎样推出来的. mmmm［生］(am)n表示n个am相乘，根据乘方的意义(am)n=aaaa，再根n个amn个mnmm据同底数幂的乘法的运算性质，可由aaaa=ammmmn个am=amn. ［师］我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”. ［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；

(2)－(a2)5=－a2×5=－a10; (3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14; (4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6; (5)(－a)2·(a2)2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6; (6)x·x4－x2·x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0. ［师］2.(1)(x3)3=x6不正确，因为(x3)3表示三个x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得(x3)3=x3×3=x9. (2)a6·a4=a24不正10个a确.因为10aa=aa6·a4=(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)=a或根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得a6·a4=a6+4=a10. ［师］我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆. Ⅴ.课时小结

我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决实际问题的能力. Ⅵ.课后作业

1.课本P16，习题1.5的第1、2、3题. 2.反思做题过程，自己对出现的错误加以改正，并写入成长记录中. Ⅶ.活动与探究

观察下列等式：

1×2=1×1×2×3，

31×2+2×3=1×2×3×4，

31×2+2×3+3×4=1×3×4×5，

31×2+2×3+3×4+4×5=1×4×5×6，

3……

根据以上规律，请你猜测：

1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)= (n为自然数). ［过程］解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法.数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得.猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显. 结论：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=1n(n+1)(n+2) 3关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然. 五、板书设计

§1.4.1 幂的乘方与积的乘方(一) 一、提出问题：

(102)3，(103)3如何计算？

二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质

(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

(103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109；

(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68；

……

n个an个mmnmmmmmm(a)=aaa=a=amn

m得出：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三、例题

四、练习