3.3 幂函数公开课教案

幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二．重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质

5．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体

三．教学过程：

引入新知

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

（1）它们的对应法则分别是什么？

（2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方

（4）求算术平方根 （5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数.

探究新知

1．幂函数的定义

一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.

如yx,yx,yx21314等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

2．研究函数的图像

（1）yx （2）yx （3）yx2 （4）yx1 （5）yx3

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像. yx2

12yx

42yx

3y=x

y=x-1

0 5101512-5-2-4-6

-8让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

-10通过观察图像，填P91探究中的表格

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限单调增减性

定点

3．幂函数性质

yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

yx2

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

yx3

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

yx

12yx1

x|x0

x|x0

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

奇

在第Ⅰ象限单调递减

（1，1）

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x1）；

（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），yx2的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当∠α＜1时，x∈（0，1），yx2的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

例题：

1．证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数

证：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则

f(x1)f(x2) =x1x2

(x1x2)(x1x2)x1x2

=x1x2

x1x2 因x1x2＜0，x1x2＞0 所以f(x1)f(x2)，即f(x)x在[0,]上是增函数.

思考：

我们知道，若yf(x)0,若f(x1)1得f(x1)f(x2)，你能否用这种作比的方f(x2)法来证明f(x)x在[0,]上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

2．利用函数的性质

，判断下列两个值的大小

（1）2,3 （2）(x1),161632x32(x0) （3）(a4),4

22424分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习

画出yx的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.

6．归纳小结：提问方式 （1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

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