2.1.1 函数的概念和图象教学实录与评析

函数的概念（一）

一、复习引入

在初中，我们就已经学习了函数：在一个变化的过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。这是我们在初中对函数的理解：将函数看成两变量之间的依赖关系。因变量随着自变量的变化而变化。现在我们学习了集合，函数可以从集合的角度给出新的定义。

二、讲授新课

首先我们来看课本上的三个实例，注意观察每个实例都涉及到了几个变量？

答：每个实例都存在两个变量。表1：年份变量与人口数变量。表2：时间变量与下落距离变量。表3：时间变量与温度变量。

问题2：每个实例中两个变量之间有什么关系呢？

答：当一个变量取一确定值时，另一变量有唯一确定的值与之对应。

比如，当年份确定为1974年的话，那么当年对应的人口数也确定了——909。

再比如，当下落时间确定为2秒，那么物体的下落距离也就随之确定了。

总结：根据初中所学的知识，这里的每一个问题都涉及到了一个确定的函数。

问题3：那么大家能否用集合的语言来阐述这三个实例的共同特点？

答：（1）每个问题都涉及两个集合A、B。比如：表1，集合A可用于存放年份变量，集合B用来存放人口变量。

（2）两个集合之间存在某种对应：对于集合A中任意元素x，在集合B中总有一个元素y与之唯一对应。

问题4：有了这些分析，大家能否从集合的角度给出函数的新定义？

（一）函数的定义

定义：一般地，设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的y与它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：yf(x)。

其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域，对于集合A中的每一个x，都有唯一一个输出值y与之对应，将所有输出值组成的集合称为函数的值域。

旁边：我们一起来分析一下，这个定义中有哪些地方值得大家注意的。“A、B是两个非空数集”这句话的关键词在于：非空数集。它强调了两个方面：非空集合、实数集合。这第一个注意点。

接下来，“对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的y与它对应，”

这句话强调了三个方面：首先，对应法则要作用于集合A中的每一个元素x，我们概括为任意性。其次，集合B中必须要存在并且是唯一的一个y与之对应，我们概括为集合B中元素的存在性和唯一性。一般，我们要判断一个对应能否看成函数，主要就是检验对应能否满足这三个性质。

继续，这里的函数符号f(x)大家要注意了，它是一个整体，不能误解为是字母f乘以x。此外，这里的f指的是施加于输入值x的某种对应法则。

接下来，那我们能不能这样认为集合A就是函数的定义域?当然可以。那么，集合B就是函数的值域？

答：不可以。回到函数定义，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的y与它对应，这句话知识强调了对应过程中，B中元素的“存在性与唯一性”，并没有要求B集合只能包含与x对应的元素，所以，严格来讲，函数值域只是B集合的一个子集而已。这个大家要注意。

注解：（1）A、B是两个非空数集。

（2）集合A中元素的任意性，集合B中元素的存在性、唯一性。

（3）函数符号yf(x)表示y是关于x的函数，f是指施加于x的某种对应法则。

（4）若f:AB，函数的值域是C，那么CB。

关于函数的定义我们做了这4点解释说明，希望能够帮助大家理解函数的概念。

下面，我们就来看一些具体问题。

例1. 下列对应中为函数的是哪些？

1 4

1 0

2 1

6

2 3 5

4 6

3

（1）

（2）

4

1

1 0

2 1

6

2 3 5

4 6

（3）

（4）

点评：判断一个对应是够为函数，紧扣定义中强调的三个性，尤其是惟一性：一个输入值只能对应一个输出值，但是多个输入值可以对应一个输出值。所以，函数的对应，分为两种：一对一，多对一。唯独没有一对多。

例2 判断下列对应是否为函数。

（1）xy，这里yx，xR,y0

点评：这是x到y的一个对应，对应法则是：对输入值x取绝对值。定义域是R，值域应该是y0。这不是一个函数，因为当输入值为0时，没有输出值与它对应。

（2）xy，这里yx2，xR,yR

点评：对应法则是对输入值进行平方，对于任意一个输入值x，x都被x唯一确定了，也就意味着R中必然存在唯一一点与x对应。所以，这是一个函数。

（3）xy，这里yx，x0,yR。

点评：对应法则是对输入值先开跟再加正负号。而对于输入值x，有两个y与它对应，不符合唯一性。所以不是函数。

总结：例2与例1都是判断对应是否为函数，区别在于例2中的对应法则用解析式表示出来了，但无论是哪一种形式，都要紧扣函数的定义，验证对应是否满足定义中强调的三个性质。

刚才我们将用符号yf(x)来表示一个函数，这个符号就体现了构成函数的三要素：x,f,y。x是输入值，由输入值构成的集合称为函数定义域，f是施加于输入值x的对应法则，y是输出值，由输出值构成集合就是函数的值域。因而，构成函数的三要素分别是：定义域、对应法则、值域

（二）函数的三要素

1.定义域、对应法则、值域

思考：这三要素之间有没有什么关系？如果一个函数的定义域给定，对应法则也给定了，就间接说明，这个函数的值域也确定了。因而，值域依赖于定义域与对应法则，或者说定义域与对应法则共同确定值域。那么，根据这个知识点，我们就能给出相同函数的定义。另外，

有一个地方大家要注意：函数的定义域与值域都是实数集，所以，在以后的学习过程中，务必要将定义域与值域写成集合或者区间的形式。要形成这种习惯。

点评：（1）定义域与对应法则共同确定值域。

（2）相同函数：如果两个函数的定义域与对应法则分别相同，那么这两个函数相同。

（3）函数的定义域与值域必须要写成集合或区间的形式。

下面，我们来看几个求“定义域”的问题

例3 求下列函数的定义域

（1）yx1

（2）y

（3）y21

2x1x

4

变式：yx，y3x

（4）y2x11x

（5）yx0

点评：（写完题目后说）对于这一类用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那一般我们就认为函数的定义域是使得函数表达式有意义的取值集合。

（题目将结束之后）目前，常见的解析式函数类型有这些：整式，分式，偶次根式，零次幂与负指数幂，下面我们就来归纳整理出他们各自的定义域。

2. 求定义域的一般原则

整式：一切实数

分式：分母不为0的一切实数

偶次根式：被开方数大于等于0

零次幂：底不为0的一切实数

例4 求下列函数的值域

（1）f(x)2x1,x{1,2,3,4}

（2）f(x)x22x,x{0,1,2}

（3）f(x)x22x,xR

方法一、配方法

方法二、图像法

（4）f(x)x22x,x[2,4]

分析：首先在图像上找到[2,4]对应的函数图像，接下来，观察这段函数图像对应的函数值的范围。在2的时候，函数有最小值。在4的时候，函数有最大值。

例5. 判断下列函数是否为同一函数

（1）f(x)x，g(x)(x)2

（2）f(x)x，g(x)（3）f(x)x，g(x)（4）f(x)3x3

x2

(x1)x2，g(x)x2

x1（5）f(x)x3，g(t)t3