2.2.1 函数的单调性特级教师教学实录

课题：函数的单调性

授课教师：建陵中学 张苏霞

1．教学目标

（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方

法．

（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．

2．教学重点：（1）函数单调性的概念；

（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．

教学难点：利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性．

3．教学方法和教学手段：探索发现法和运用多媒体教学．

4．教学过程：

前面已经研究了函数的概念和表示方法，从今天开始我们将要研究函数的简单性质．（板书课题：函数的简单性质）

（一）问题情境

(1) 考察下列三个函数的图像:

①y=x

②y=x2(x≥0)

③y=–x-1(x>0)

思考1:这三个函数的图象有何共同特征？

思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

思考3: 这种“随…增大而…”的现象，我们数学中也有，你能举出这样的例子吗？

学生活动，直至学生列举出一次函数、二次函数和反比例函数等不同类型的具体函数．结合图形，请学生说出函数随x的增大产生的函数值的变化情况．

这就是我们将要研究的函数图象在某一区间上的特征：连续的，上升或下降，我们称之为：函数的单调性（板书：函数性质1：单调性）．图象上升称之为函数在区间上单调增，下降则称之为单调减．

（二）定义探索

首先我们来研究函数在区间上单调递增的情况．

如何用数学语言来刻画函数这一性质呢？

学生活动：首先想到的是“y随x的增大而增大”．

继续探究1：简单函数如y＝x从图象可以知道“y随x的增大而增大”，如x果函数既不是简单的，也不知道其图象，如y，怎么办呢？

x1

引导学生，提出问题：

①什么叫“x增大”？

②什么叫“y增大”？

③什么叫“y随x的增大而增大”？

解决得到：运用“x1x2，有f(x1)f(x2)”刻画“y随x的增大而增大”．

继续探究2：函数图象上只有两个点（x1，f(x1)），（x2，f(x2)）的坐标具有“x1x2，有f(x1)f(x2)”的性质，能不能就说函数在区间上单调增？

学生可举反例澄清这一问题，从而解决：对区间上所有的x值，都应有“当x1x2时，有f(x1)f(x2)”这一性质．

学生活动：总结阐述单调增函数的定义．（教师板书：（1）单调增函数，同时，多媒体演示单调增函数的完整定义．）

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，若当x1

仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．（教师板书：单调减函数，同时多媒体演示单调减函数定义）

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，若当x1f(x2),那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间．

教师介绍：若函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

（教师板书：（2）单调性、单调区间，同时多媒体演示定义．）

（三）定义巩固

1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？

2、判断下列说法是否正确：

（1）定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则函数f(x)是R上的增函数；

（2）定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则函数f(x)是R上的增函数．

3、根据你列举的函数，运用函数单调性的定义，证明你判断的结论．

运用实物投影，投影个别学生的证明，纠正出现的问题，以证明f(x)=-2x+2在区间（－∞，+∞）上的单调性为例，规范证明的格式．请学生归纳运用定义法探求函数单调性的步骤，投影演示：①取值；②作差变形；③定号；④判断．

2同时解决函数f(x)=x+2x-3在区间［－1，＋∞）上是单调减函数？

（四）问题讨论

问题 通过前面的研究，我们已经知道函数f(x)x在R上单调增函数，函11在区间（0，＋∞）上单调减函数，你知道函数f(x)x在区间（0，xx＋∞）上的单调性吗？

和学生共同探讨：在不知道函数图象的基础上，回到定义去．

学生活动，能够完成到：

数f(x)设0x1x2，

f(x1)f(x2)(x1(xx1)11

)(x2)＝(x1x2)2x1x2x1x2＝(x1x2)(x1x21)．

x1x2此时判断因式x1x21的符号出现了困难，在区间（0，＋∞）上，因式x1x21的符号不定．问题目标：能否找到区间，使因式x1x21的符号确定，即在此区间上，x1x21＞0或x1x21＜0恒成立？

学生由具体数值去尝试，会发现当0x1x21时，x1x21恒小于0；当1x1x2时，x1x21恒大于0．

1在（0，＋∞）上有两个单调区间：（0，1］和［1，x＋∞），在区间（0，1］上单调减，在区间［1，＋∞）上单调增．

1继续深入，通过函数f(x)x在区间（0，＋∞）上的单调性的研究，你x1能否画出函数f(x)x在区间（0，＋∞）上的草图？（多媒体演示函数的图x象）

（五）课堂小结

问题解决，f(x)x函数的单调性是函数的重要性质，它反映了函数定义域内某个区间上函数值的增减变化和图象的升降趋势．本节课从数和形这两方面入手，探索研究了函数的单调性的定义，掌握了判断函数的单调性和单调区间的方法――①图象

法②定义法，其中定义法是最重要的．

（六）作业布置

（1）阅读课本P35 例2 （2）作业：课本P43

1、4、7 课后尝试

1、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1a)f(3a)，你知道a的取值范围吗？

2、二次函数yx2bxc在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母b的值吗？

教学设计说明

本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用数学解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形上的本质特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点即为学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证．

围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：

1、重视学生亲身的体验．它体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1f(x)x在区间（0，＋∞）上的单调性的讨论．

x2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化1为函数值（数）的特征；通过具体的数值的探讨，发现f(x)x在区间（0，x＋∞）上单调性的分界点．

3、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．如：设计一组提问：什么叫“x增大”？什么叫“y增大”？什么叫“y随x的增大而增大”？