2.2.1 函数的单调性优秀公开课教案

函数的单调性教案

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】

函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

xkb1.com【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】 讲授w

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

下图是兰州市今年5月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：观察图形，能得到什么信息？[来源:学+科+网]

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其它的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

二、归纳探索，形成概念

预案：再次分析上面四个图像得出：如果函数在定义域内的某个区间上随自变量在定义域x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数内的某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图像的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

问题：如何从解析式的角度说明在为增函数？

22预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3) 任取，所以在,因为为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量是一个集合，或是范围，有时不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫. 3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生模拟得出减函数的定义．

(1)板书定义[来源:Z*xx*k.Com]

的定义域为I：

一般的，设函数如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(X)在这个区间上是减函数。

(2)巩固概念

判断题：

①．②若函数③若函数数. 在区间和(2,3)上均为增函数，则函数. ．

在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数. 上都是减函数，所以在通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法，适当延展

例

证明函数在上是增函数．w w w .x k b 1.c o m

1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取,

设元

求差

变形

,

断号

∴∴

即

∴函数2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数问题：要证明函数在在区间上是增函数．

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗? w

W w .x K b 1.c o M

引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，模拟等．

2．作业

书面作业：课本第60页

习题2.3 第4，5，6题．

课后探究：

(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有．

(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．