3.4.1 函数与方程教学设计

函数与方程（1）

目标要求

1、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.初步形成用函数的观点处理问题的意识. 2、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 重点难点

重点：用联系的观点理解零点的概念，体会函数零点与方程根之间的联系；

难点：函数、方程、不等式之间的联系与转化. 教学过程

一、问题与思考：

思考1．下列两个问题的结果是否相同：

（1）求一元二次方程x22x30的根；

（2）求二次函数yx2x3的图象与x轴的交点的横坐标. 1．零点定义：一般地，我们把

称为函数yf(x)的零点.

思考2．判断下列函数的零点的个数：

1）y2x3；

2）y0.5x；

3）yx2x20；

4）y(x1)(x23x1)；

5）y(x22)(x23x2)．

思考3．函数yf(x)的零点与方程f(x)0及函数yf(x)的图象有何关系？

思考4．函数yf(x)的零点是点还是数？

思考5．已知f(x)x21，求函数f(x1)的零点．

思考6．零点存在性的探索：

（1）观察二次函数f(x)x22x3的图象：

①f(2)=

,f(1)=

,f(2)f(1)

0在区间2,1上

(有/无)零点.

②f(2)f(4)

0（<或>）在区间2,4上

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（2）观察函数yf(x)的图象：

（1）在区间a,b上

(有/无)零点；

“<”或“>”）. f(a)f(b)

0（（2）在区间b,c上

(有/无)零点；

“<”或“>”）. f(b)f(c)

0（（3）在区间c,d上

(有/无)零点；

“<”或“>”）. f(c)f(d)

0（由以上的探索你可以得出什么结论?

二．新课讲授

a yob c d x2．零点的存在性定理：一般地，若函数yf(x)在

，且

，则称函数yf(x)在区间(a,b)上有零点. 思考7．试求出函数f(x)x5的正零点（精确到0.1）. 3．二分法：对于在区间[a,b]上不间断，且f(a)f(b)

0的函数yf(x)，通过不断把零点所在的区间

，使区间的两个端点

，进而得到零点

的方法.

三、例题分析：

例1．求证：二次函数y2x3x7有两个不同的零点．

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22

变题1：求证：函数f(x)x3x21在区间(2,1)上存在零点．

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变题2：判断函数f(x)x2x1在区间(2,3)上是否存在零点．

变题3：求证：无论a取什么实数，二次函数yx2axa2都有两个零点x1,x2(x1x2)，并求出x2x1最小时的二次函数的解析式.

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例2．如右图是一个二次函数yf(x)的图象，

（1）

写出这个函数的零点；

（2）

写出这个函数的解析式；

（3）

分别指出f(4)f(1)，f(0)f(2)与0的大小关系．

例3：（1）函数f(x)lnx

（2）若方程2ax2x10在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是

例4：（1）方程x|x|3|x|20的实根个数是

个．

-4-3-2-1o123y4x2，零点在区间(a,a1)内，其中aZ，则a

=

．

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（2）讨论关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)(aR)的实数根的个数.

课堂练习

1、二次函数yax2bxc的图象如图所示，则点P(a,)在

（

）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

0ycb2.若函数f(x)xbxc的两个零点x1,x2满足2x1x12x24，

则f(1)f(2)f(4)________0. (填“”“”或“”)

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班级 姓名 得分 1、

已知f(x)x21，则函数f(x1)的零点为

．

2、二次函数yax2bxc中ac0，则函数的零点个数有

．

3、方程22x的实数根的个数为

．

4、函数f(x)xx1的零点是 ．

x2xbxc,x05、设函数f(x)，若f(4)2,f(2)2，则关于x的方程f(x)x的2,x0解的个数是

．

6、函数f(x)2mx4,若在[2,1]存在x0,使得f(x0)0,则实数m的范围是______．

7、已知f(x)(xa)(xb)2

(ab)，且,是方程f(x)0的两根()，则实数a,b,,的大小关系是

．

8、如图，抛物线yaxbxc经过点(1,0)

（1）试确定abc的符号；

（2）求证：方程ax2bxc0的另一根x0满足0x01；

（3）求证：0ba.

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9、讨论关于x的方程x2x3m的解的个数.

10、2、f(x)ax2x2在区间(1,2)内有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

11、如图，二次函数ymx24m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B,C在x轴上，A,D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，

（1）

求二次函数的解析式；

（2）

设A(x,y)，试求矩形ABCD的周长关于x的函数关系式，并求x的取值范围；

（3）

是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？并证明你的结论．

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