3.4.1 函数与方程教学实录与评析

方程的根与函数的零点

（第一课时）

【教学内容及内容解析】

本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．

新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．

之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．

从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．

基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．

【学情分析】 学生具备必要的知识与心理基础．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．

学生缺乏函数与方程联系的观点．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．

直观体验与准确理解定理的矛盾．从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．

1

定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．

基于上述分析，确定本节的教学难点是：对零点存在性定理的准确理解．

【教学目标】

1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

2.理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．

4.

经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．

【教学重点难点】

重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．

难点：对零点存在性定理的准确理解．

【评价设计】

表现性评价：学生的学习热情与课堂参与程度（对表情.态度.气氛等及时评价）；

交流式评价：合作讨论，归纳总结能力（对问答.质疑.纠错.改错等及时评价）；

呈现性评价：学生回答问题的正确率，板书的规范（对投影.展示.板演适时评价）. 【教学过程设计】

一.课前预习.生成问题

【预习提纲】

1、探究具体的一元二次方程与二次函数的关系。请填下表：

方程

方程的实数根

对应的函数

x22x30

x22x10

x22x30

函数的图像

2

函数图像与x轴的交点

2、推广到一般的一元二次方程与二次函数的关系。请填下表：

判别式b24ac

0

0

0

方程ax2bxc0(a0)

的实数根

函数yax2bxc的

图像

函数图像与x轴的交点

请你试着总结一元二次方程的根与二次函数图像的关系：

一元二次方程的根有根等价于对应的二次函数图像

。

一元二次方程的根就是对应二次函数图像

。

3、函数yx22x3的零点是（

）

A

(1,0),(3,0)

B

(0,3)

C

x1

D

1和3

4、已知函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，如果两端点分别为A、B，请大家画出函数的图像。y y B A ab o b x a o x A B

5、下列函数有零点吗？结合以下函数的图像，回答下列问题：

（1）函数在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，该函数在(a,b)上一定有零点吗？

（2）函数在区间[a,b]上有f(a)f(b)0，该函数在(a,b)上一定有零点吗？

（3）如果函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)f(b)0吗？

（4）如果函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，函数在(a,b)内的图象一定是连续不断的一条曲线吗？

3

y y f(x)

f(x)a o b x o a b x （1）

（2）

y y f(x)

f(x)b a o a x o b x （3）

（4）

y f(x)y f(x)o a b x o a b x （5）

（6）

6、函数f(x)lnx2x的零点所在的大致区间是（ ）

A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5)

【学生生成问题】

学生生成问题：

1、如何求一元一次方程、一元二次方程的根？

2、二次函数的图像是怎样的？

3、什么叫做函数的零点？二次函数的图像与二次函数的零点有何关系？

4、一元二次方程的根与二次函数的零点有何关系？

5、方程的根与函数的零点有何关系？

6、函数的零点存在性判定定理的内容是什么？

7、你有哪些判断函数有零点的方法？

4

8、你有几种手段确定函数零点的个数？

二.创境设问

前面同学们对第三章“函数的运用”中的第一节“函数与方程”，进行了结构化预习，通过预***家解决了“方程的根与函数的零点”中有些问题，也有一些未解决好的问题和新生成的问题。通过对大家问题的整合，我把这节课要解决的问题列举出来：

1、函数零点是怎样定义的？

2、方程的根、函数的图像、函数的零点三者有何联系？

3、函数零点存在性判定定理是怎样的？

4、确定函数零点的个数，你有几种手段？

5、判断函数有零点，你有哪些方法？

本节课就来解决这些问题。

三、互动解疑

（一）知识梳理

首先进行知识梳理，先看下表：哪个同学来把你的结果展示一下？

1、请填下表：

判别式b4ac

方程20

0

0

ax2bxc0(a0)的实数根

函数

函数图像与x轴的交点

yax2bxc的图像

从表中，你能从表中总结出一元二次方程的根与二次函数的图像的关系吗？哪个同学来回答？

一元二次方程有实数根等价于对应的二次函数图像

；

一元二次方程的实数根就是对应二次函数图像

。

2、像这样的一元一次方程、一元二次方程，可以通过直接求根或根据函数的图像，来判断方程是否有根，32根是多少，一元二次方程还可以通过判别式判断方程是否有根，但有的方程，比如x9x290，lnx2x60不好判断出方程是否有根，更不好求出根是多少,因此，就很有必要引入我们今天学习的函数零点的定义和判断方程是否有根的方法。哪个同学来说一下，函数的零点是怎样定义的？

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函数的零点的定义：把函数f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

3、你能说出方程的根、函数的图像、函数的零点三者的联系吗？

方程f(x)0有实数根

函数yf(x)的图像 函数yf(x)有 。

方程f(x)0的实数根

函数yf(x)的图像 函数yf(x)的 。

4、函数零点存在性判定定理内容是怎样的？

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根。

定理当中强调了函数在闭区间[a, b]上具备两个条件：一是函数的图像是连续不断的一条曲线，二是函数在区间的左右端点有意义，左右端点的函数值f(a)与f(b)的乘积小于零。只要同时具备了这两个条件，函数就一定有零点。

（二）基础巩固

下面我们来巩固一下刚才学习的知识。

1、函数yx22x3的零点是（

）

A

(1,0),(3,0)

B

(0,3)

C

x1

D

1和3

哪个同学来说一下第1题的答案，你们同意吗？函数的零点是一个点还是实数呢？

2、函数f(x)31的零点是

。

第2题是多少？函数f(x)的零点就是令f(x)0，解出x的值就是函数的零点。

3、函数f(x)3(x2)(x3)(x4)x必有一个零点的区间是（ ）

A．(-5, -4) B．(-4,-3) C．(-1, 0) D．(0,2) 第3题选哪个呢？就是运用判定定理，看区间左右端点值是否异号。

（三）运用举例

现在我们运用刚才学习的知识来解决下面的问题。请看例1，请学科长组织小组成员合作讨论，如果有结果了，就在黑板上展示出来，也可以用投影仪投影出来。

例1、求函数f(x)lnx2x6的零点的个数。（1个，x(2,3)）

实际上，我们也可以利用计算机，直接做出函数f(x)lnx2x6的图像观察。（作图）

这个题就是确定函数零点的个数，我们用了哪些方法？

画函数的图像，函数零点存在性判定定理、函数的性质。

再看例2，请学科长组织小组成员合作讨论，如果有结果了，就在黑板上展示出来，也可以用投影仪投

x

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影出来。（需要安排两个组不同解法的同学，其他成员一起上去）

例2、天天要做长方体型学习用具，将72厘米长的铁丝截成12段，焊接成长方体型框架，要求长与宽相等，则长方体的体积可以是58立方厘米吗？x(2,3)或x(8,9)

实际上，我们也可以利用计算机，直接做出函数f(x)x39x229的图像观察。（作图）

这个题就是判断函数是否有零点，我们用了哪些方法？

画函数的图像，函数零点存在性判定定理。

四、拓展延伸：

下面我们再把函数零点存在性判定定理拓展延伸一下，请看下面的问题。

结合以下函数图像，完成下面的问题：

y f(x)

y f(x)

y f(x)y f(x)a o x b o a x b o a a x b o x b

下列说法正确的有

（1）函数在[a,b]上有f(a)·f(b)<0，该函数在(a,b)上一定有零点。

（2）如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)<0。

（3）函数在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，该函数在(a,b)上不一定有零点。

（4）如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，函数在(a,b)内的图象一定是连续不断的一条曲线。

请学科长组织小组讨论一下，再小组展示。请指出哪个图可以说明这样的问题？

收获展示：我们队这节课进行总结，（看时间是否需要小组讨论总结），哪个（代表小组的意见）来说一说这节课的收获？

有需要补充的吗？（投影出来）

知识

函数零点的定义: 方程的根、函数的图像、函数的零点三者的联系: 函数零点存在性判定定理: 方法

确定函数零点个数主要的手段: 判断函数有零点主要的方法: 【板书设计】

方程的根与函数的零点

一、函数的零点的定义：

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二、方程的根、函数的图像、函数的零点三者的联系

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与

轴的交点函数yf(x)有零点。

方程f(x)0的实数根函数yf(x)的图像

轴交点的横坐标函数yf(x)的零点。

三、函数零点存在性判定定理：连续不断，且

例1 确定函数零点的个数的手段：画函数的图像、函数零点存在性判定定理、函数的性质。

例2 判断函数有零点的方法：函数零点存在性判定定理、画函数的图像。

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