3.1.2 指数函数课堂实录【1】

1

第一课时

指数函数及其性质

[新知初探]

1．指数函数的定义

函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. [点睛]

指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数．

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 2．指数函数的图象和性质

a＞1

0＜a＜1 图

象

定义域

性

质

值域

过定点

单调性

a＞1

R (0，＋∞) 过点(0,1)即x＝0时，y＝1 是R上的增函数

是R上的减函数

0＜a＜1 [点睛]

底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．

(

) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．

(

) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．

(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．函数y＝(3－1)x在R上是(

) A．增函数

B．奇函数

2 C．偶函数

答案：D 3．函数y＝2－x

D．.减函数

的图象是(

)

答案：B 数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3∞) 例题讲解：

指数函数的概念

[例1]

(1)下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3. ＋其中，指数函数的个数是(

) A．0

C．2

B．1

D．3 (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(

) A．a＝1或a＝3

C．a＝3

B．a＝1 D．

a>0且a≠1 [解析]

(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；

②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；

③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；

④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．

a－22＝1，(2)由指数函数定义知所以解得a＝3. a>0，且a≠1，

[答案]

(1)B

(2)C

判断一个函数是指数函数的方法

(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．

(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．

[活学活用] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________. 解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，

3 2a－3a＋3＝1，a＝1或a＝2，可得解得∴a＝2. a＞0，且a≠1，a＞0，且a≠1，

答案：2 指数型函数的定义域和值域

[例2]

求下列函数的定义域和值域：

2－|x|1(1)y＝2；(2)y＝3；(3)y＝

x－41x1－2.

11[解]

(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴2x－4x－41≠1，∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．

x－4(2)定义域为R. 2－|x|3|x|30∵|x|≥0，∴y＝3＝2≥2＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．

1x1x≤1＝10，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0(3)由题意知1－≥0，∴2221x∴2≤1. 1x1x≤1.∴0≤1－1x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．

又∵＞0，∴0＜222

指数型函数的定义域、值域的求法

(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

[活学活用]

2．求下列函数的定义域、值域：

1x-2-2x-31(1)y＝35x－1；(2)y＝. 解：(1)由5x－1≥0，得x≥，

251x≥.由5x－1≥0，得y≥1，

所以所求函数的定义域为x5

所以所求函数的值域为[1，＋∞)．

(2)定义域为R. 121－4＝16.又∵1x-2-2x-3＞0，

∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x－2x－3≤222

4 1x-2-2x-3∴函数y＝的值域为(0,16]. 2指数型函数图象

题点一：指数型函数过定点问题

1．函数y＝ax3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

－

解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax3＋3－中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax3＋3的图象过定点(3,4)．

－答案：(3,4) 题点二：指数型函数图象中数据判断

2．函数f(x)＝ax

－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0

B．a＞1，b＞0 D．

0＜a＜1，b＜0 解析：选D

从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. 题点三：作指数型函数的图象

3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 解：如图．

(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；

(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

5 (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．