习题2.1教案和学案内容

2.1指数函数及其性质（习题课）

任课老师：谢燕珊

一、课题：2.1指数函数及其性质

二、课型：新授课

三、教学目标

【知识与技能目标】理解指数函数的概念、意义和性质，会画具体指数函数的图象。

【过程与方法目标】利用实际背景，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，通过具体的函数图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法

。

【情感、态度与价值观目标】通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，充分发挥学生的主观能动性，培养他们勇于提问、善于探索的数学思维品质。认识到数学来源于生活，并且服务于生活。 四、教学重点和难点。

【重点】指数函数的概念和性质。

【难点】用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。

五、教法学法

【教法】在本节课中，我将启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 【学法】本节课从学生原有的函数概念、性质等知识出发，我将组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。

六、课时安排

2课时

七、教学基本流程

从指数函数的实际背景引入

构建指数函数的概念

画指数函数的图象

探索指数函数的性质

典例剖析与随堂训练

课堂小结与作业

八、教学过程设计

第一课时

（一）

创设情境、导入新课

老师：在本章的开始，给出了两个问题：

问题一：据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001--2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？

问题二：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了碳14含量P和死亡年数t的之间对应关系. 学生：交流后得出它们之间的对应关系

问题

对应关系

定义域

问题1 问题2 y1.073x

1p2t5730xN,且x20

t0

【学情预设】

学生可能会漏掉x的取值范围，我引导学生思考具体问题中x的取值范围。

【设计意图】

用函数的观点来分析GDP值的增长模型和碳14含量模型中变量之间的对应关系，为引出指数函数的模型

ya（a>0)做准备，以利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活。

（二）

师生互动、探究新知

1.指数函数的定义

老师：提出探究问题1：上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系？提出探究问题2：上述两个函数有什么样的共同特征？

学生：通过思考讨论不难得出探究1的结论：能够构成函数关系。

引导学生通过观察得出两个函数的共同特征：

（1）幂的形式都一样；

（2）幂的底数都是一个正常数；

（3）幂的指数都是一个变量。

xya老师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式，x自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。

【设计意图】

引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模型yax

（a>0), 由学生归纳出指数函数的概念。培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力。

指数函数：一般地，函数常数，定义域为R。、

yax(a>0且a≠1) 叫做指数函数，其中x为自变量，a是

老师：定义中底数a满足a>0且a≠1，为什么定义中规定a>0且a≠1呢？然后引导学xya生探讨若不满足条件时，会怎样呢？

学生: 通过交流合作、教师引导，可以得出如下结论：

（1）若a=0,则

当x＞0时，ax0。当x≤0时,

ax无意义。

xx1（2）若a＜0,则对于x的某些数值，可使a无意义。如(2)，这时对于x2，1x，……，在实数范围内函数值不存在。

4（3）若a=1,则对于任何xR,ax1是一个常量，没有研究的必要性。

以上三种情况都不利于我们研究指数函数，所以规定：a>0 且a≠1. 【设计意图】 1.通过对a的范围的具体分析，使学生进一步掌握指数函数一般形式。

2.讨论出a>0且a≠1，为下面研究性质是对底数的分类做准备. 老师:学习了指数函数的定义,如何判断一个函数是否是指数函数?通过多媒体给出随堂练习：

下列函数中, 哪些是指数函数? (1) y4x (2) y4x (3) yx4 (4) y4x1

学生：分组讨论，合作交流，找出代表回答。

答案：（1）是 (2)、(3)、(4)不是。

【学情预设】

学生可能会在（2）、（4）的判断上出现错误。在学生判断的过程中我适时给予指导，提醒学生“指数函数”的定义是形式定义，必须在形式上一模一样。

【设计意图】

进一步加深学生对指数函数概念的理解，使学生认识到“指数函数”的定义是形式定义，必须在形式上一模一样。

2. 指数函数的性质

老师：在以前学习中，研究函数一般包括哪些方面？

学生: 函数图象、函数三要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。

【设计意图】

培养学生的思维习惯，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数。

老师：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数。根据这个思路，同学们先来完成下面的问题: （1）

请同学们先动手画一画下面两个函数的图像. 在学生画图的过程中，进一步明确作图的一般步骤（列表→描点→连线）。最后在多媒体上将这两个图象给予展示。

然后提出思考问题

xxx思考1：函数y2的图像与y()的图像有什么关系

？可否利用y2的图像画12

1xy()的图像

？ （关于y轴对称，可以画出）

出2思考2:

结合具体的指数函数图像，当底数大于0小于1和大于1时，图像在画法上有什么特点？

（当底数大于0小于1时，图像自左向右是下降的；当底数大于1时，图像自左向右是上升的。）

思考3：通过图象，你能发现指数函数的哪些特征？

1.图像向左、向右是无限延伸的；

2.图像都在x轴的上方；

3.都过定点（0，1）。 【设计意图】1.

提高学生的动手能力和更好的让学生体会从具体到一般的思想方法。

2.通过引导学生对具体的函数进行观察归纳，合作交流，将具体化为抽象，并感受了对底数的分类讨论的思维方式，从而达到了重点的突破. 【学情预设】

要求学生用描点法画出函数y =2x和y =(1/2)x的图象.接下来用多媒体给出y =2x、y =(1/2)x、y =3x和y =(1/3)x这四个函数的图像，以思考1、思考2、思考3为载体，组织学生讨论，合作交流，引导学生观察图象的特点，得出a>1和0

一般地，指数函数

yax(a>0且a≠1)的图像和性质如下表示。

y 0

a>1

y (0,1)

y=1 x (0,1)

0 x 图象

y=1 0 定义域

值域

定点

性质

单调性

R (0，+∞) (0 , 1)，即 x = 0 时, y = 1 在R上是单调减函数

在R上是单调增函数

【设计意图】

通过观察图像的特点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、分类讨论思想和抽象概括思想。同时表格的完成将会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热情带入高峰.

（三）

典例分析、巩固训练

例1：已知指数函数f(x)ax（a>0 且a≠1）的图像经过点（3，π），求f(0)

，f(1)，f(3)的值。

解：因为f(x)ax的图像过点(3,)，所以f(3)，即a3. 13解得a,于是f(x). 所以x3f(0)1,f(1)3,f(3)1. 例2：求下列函数的定义域. (1) y21x1, (2) y42x6. 【答案】

（1）

x|x1

， （2）

3,。

【设计意图】

在例题1中通过方程渗透的思想加深学生对函数的理解；而例题2则是进一步巩固指数函数的定义域这一要素。

【巩固训练】

1f(）1、已知指数函数fxa(a0且a1)，且f(1)9，求f(2)、的值。

2x1f(）3

【答案】

f(2)81、22、求下列函数的定义域. 12x1(1) y22x1 (2) y81y (3) 2x2

【答案】

(1) R , (2) x|x1 , (3) 2,. 2【设计意图】通过练习1和练习2对学生掌握的情况进行反馈。

（四）

小结归纳

（1）

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

1．指数函数的概念；

2. 指数函数的图象及其简图的画法; 3. 指数函数的性质.

（2）

你学会了哪些数学思想方法？ 数形结合思想、分类讨论思想、从具体到一般的抽象概括的方法

。

【设计意图】

通过两个问题让学生在小结中明确本节课的学习内容和方法，进一步强化本节课的学习重点。

（五）

布置作业

(1)必做题：课本59页，A组5。

(2)选做题：课本60页，B组4。

【设计意图】

遵循因材施教的原则，尊重学生的个体差异，让不同的学生有不同的发展。使基础一般的同学可以通过必做题巩固知识，基础好的同学可以有拓展的空间。

（六）

板书设计

2.1.2. 指数函数及其性质

一.指数函数的概念 二.图象和性质 三.应用 1.定义 1 .画图象的方法 例1 . 1. 2.几点说明 2 .草图 例2 . 2. 3 .性质 练习

四.小结

五.布置作业