小结第二课时教学设计

函数的对称性与周期性

一、学习目标

1．

理解奇偶性与周期函数的定义、图象特征；

2．了解对称性与函数奇偶性的关系. 二、回归教材

1．设函数fxxD，如果存在非零常数T，使得对任意的xD都有_____，则称函数fx为周期函数，T为函数fx的一个周期.

2．奇函数的图象关于____对称；偶函数的图象关于____对称. 3．一个函数fx满足faxfbx，则它的图象关于_____对称.

4.奇(偶)函数的性质

(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.

(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤

相同 ,偶函数在关

于原点对称的区间上的单调性⑥

相反 .

(3)在公共定义域内

(i)两个奇函数的和是⑦

奇函数 ,两个奇函数的积是⑧

偶函数 .

(ii)两个偶函数的和、积都是⑨

偶函数 .

(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩

奇函数 .

(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.

5.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义

域内的任何值时,都有f(x+T)=  f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函

数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 

存在一个最小

的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

三、基础自测

1．已知函数fx的定义域为D，对任意的xD，都有fx2fx，则（ ）

A.fx的周期为2 B.fx的对称轴为x2 C.fx的对称中心为2,0 D.fx2fx

2．fx是定义在R上的奇函数，如果fx0a，那么fx0=（ ）

A．a B．a C．

x0 D．

x0

3．已知fx是定义在R上的奇函数，fx在区间0,上递增，f20，则不等式xfx0

的解集为（ ）

A．,2 B．2,00,2 C．2, D．,22,

- 1 -

4．fx是周期为4的偶函数，且当x2,4时fx4x,则f7.4= . 5．fx是定义在R上的奇函数，图象关于直线x对称，则f1f2f5

. 四、典例剖析

例1.(2015北京,3,5分)下列函数中为偶函数的是 (

) 22A.y=xsin x

B.y=xcos x

-xC.y=|ln x| D.y=2 例2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时,f(x)x3x,求函数yf(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数.

例3.对函数fx，当xR时，f2xf2x，f7xf7x，在闭区间[0，7]上，只有f1f30. 12（1）试判断函数fx的奇偶性；

（2）试求函数fx在闭区间[2011，2011]上的零点个数，并证明你的结论.

五、巩固练习

1．函数fxlog22x的图象（ ）

2xA．关于原点对称 B．关于yx对称 C．关于y轴对称 D．关于yx对称

1,x为有理数2．设函数D(x),则下列结论错误的是 （

）

0,x为无理数A．D(x)的值域为0,1

B．D(x)是偶函数

C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数

3．定义在R上的偶函数fx：fx2=1，当2x3时，fxx，则f2011.5= . fx

24.

定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时,f(x)(x2),当

- 2 -

1x3时,f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)

A．

335 六、高考链接

B．338

C．1678

D．2012

（

）

111.已知函数f(x)＝a1－2x－，a为常数且a>0.证明：函数f(x)的图像关于直线x＝对22称. 2. (2016广东广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, f(x)=2x2,则f(7)= (

)

A.-2

B.2

C.-98

D.98

答案 A

因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周

26

- 3 -