2.2.1 函数的单调性教学设计内容推荐

§1.3.1 函数的单调性

教学目标

知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的

单调性；

过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；

情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力. 教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；

教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程

一、自学导航

1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？

（2）如何用定义判断一些函数的单调性？

一般地，设函数

f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说

f(x)在这个区间上是增函数．

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说

f(x) 在这个区间上是减函数．

2．问题：能否用定义法讨论函数f(x)exx的单调性？

学生活动

1．讨论函数yx24x3的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R，

取值

f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)

作差

＝(x1－x2)(x1＋x2－4)

变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，

定号

∴y＝f(x)在(－, 2)单调递减．

判断

当2＜x1＜x2时，

x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，

∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增. 2.

研究函数yx4x3的导函数值的符号与单调性之间的关系.

二、探究新知

1.导数符号与函数单调性之间的关系

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数yx4x3的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y0时，函数y=f(x) 在区间（，22

2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数.

如果在这个区间内y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. 说明：（1）如果某个区间内恒有y=0，则f(x)等于常数；

（2）y>0（或y<0）是函数在(a，b）上单调增（或减）的充分不必要条件. 2.利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f

(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．

三、例题精讲：

x22x5的单调区间. 例1

求函数fxx23222解：f(x)=3x－x－2=0，得x=1，.在（－∞，－）和［1，+∞)上f(x)>0，f（x）为33增函数；在［－2，1］上f（x）<0，f（x）为减函数. 322]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］. 33所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－2变式题1：求函数f(x)2xlnx的单调区间．

答案：增区间为11,，减区间为0,

22kx变式题2：设函数f(x)xe(k0)．求函数f(x)的单调区间；

解：由f'x1kxekx0，得x1k0，

k

若k0，则当x,1'时，fx0，函数fx单调递减，

k

当x1,,时，f'x0，函数fx单调递增，kw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若k0，则当x,1'时，fx0，函数fx单调递增，

k 当x1,,时，f'x0，函数fx单调递减.

k.w.k.s.5.u.c.点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；

（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；

（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，

但它是一种一般性的方法. 例2

若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 . 1 答案：[,)

3变式题1:若函数yx3x2mx1有三个单调区间，则实数m的取值范围是 . 1 答案：(,)

3变式题2:若函数yx3x2mx1在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

则实数m的值是 . 答案：-5 1变式题3：若函数yx3x2mx1在(0,)上既不是单调递增函数也不是单调递减函

2 数，则整数m的值是 . 答案：-1 .m 4变式题4：若函数yx3x2mx1的单调递减区间是[2,]，则则实数m的值

3 是 . 答案：-8 例3

设函数yf(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图1所示，则导函数yf(x)可能为 答案：④

y y y y y

O x

x x

x O O O O

图①

)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：③

②

(x变式题1：如果函数yf

④

①函数yf(x)在区间(3,)内单调递增；

②函数yf(x)在区间(x 121,3)内单调递减；

2③函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；

④函数yf(x)的单调递增区间是[2,2][4,)

则上述判断中正确的是____________．答案：③

y

1

x

1

2

-2

-1

O

-1

四、课堂精练

1. 设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,) 2. 已知函数yf(x)在定义域[4,6]内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为243yf'(x)，则不等式f'x()411为

.[4,][1,]

33

的解集3. 若函数fxx3ax21在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为 .

答案：a≥3

4.

讨论函数f(x)1xcosx的单调性. 2 答案：函数在[2k单调递增

6,2k7711](kZ)上单调递增；在[2k,2k](kZ)上666五、回顾小结

1.判断函数单调性的方法；

2.导数符号与函数单调性之间的关系；

3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练

121.函数y=8x-lnx的单调递增区间是 . 答案：[,) 42．已知xR，奇函数f(x)x3ax2bxc在[1,)上单调，则字母a,b,c应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,b3

3.已知函数f(x)13（－∞，+∞）上是增函数，x(4m1)x2(15m22m7)x2在3答案：2＜m＜4

则m的取值范围是 . 4.若函数f(x)2x2lnx在定义域内的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则实数k33(,)的取值范围是

.答案：22

5. 已知函数f(x)lnx,g(x)a,设F(x)f(x)g(x)．求函数F(x)的单调区间；

x解：Fxfxgxlnxa1axax0，F'x22x0

xxxx（1）若a0，由F'x0xa,，∴Fx在a,上单调递增.

由F'x0x0,a，∴Fx在0,a上单调递减.

∴Fx的单调递减区间为0,a，单调递增区间为a,. （2）若a0，则F'x0在0,上恒成立，∴Fx在0,上单调递增. 6.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．若函数f(x)在区间（-1,1）上不单调，．．．求a的取值范围．

答案：（-5，-1）

六、课后作业

七、教学后记：