2.1.1 函数的概念和图象名师课堂实录

函数的概念和图象（一）

三维目标

1．知识与技能

（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数

（2）了解函数的定义域及对应法则的含义

2．过程与方法

经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．

3．情感、态度与价值观

在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．

重点难点

1．教学重点

利用集合与对应关系的语言来刻画函数

2．教学难点

对应法则f的理解

教学过程

一、创设情境

我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：

（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）随时间t（秒）的变化而变化，其规律是h130t5t2．

（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．

（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．

时间（年）

恩格尔系数(%) 1991 53.8 1992 52.8 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9 二、讲解新课

问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？

问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？

问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？

每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．

问题4：如何理解对应法则f

问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？

给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．

一般地，设

A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则

f，对于集合A中的每一个元素

x，在集合B中都有惟一的元素

y 和它对应，这样的对应叫做从A

到

B的一个函数(function)，通常记为y＝f (x)，x ∈A．

其中，所有的输入值

x 组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域(domain)．

函数的近代定义：集合语言、对应的观点．

在掌握函数时，必须把握以下几点：

（1）函数是一种特殊的对应f：AB，集合A，B是非空的数的集合．

（2）对应法则的方向是从A到B．

（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．

例1 判断下列对应是否为集合A

到

B的函数：

（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝，

x∈A，f：x→2x；

（2）A＝R，B＝R，x∈A，f：x→y

，y＝x；

（3）A＝[0，＋)，B＝R

，x∈A，f：x→y

，y2＝x．

解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A

到

B的函数；

（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A

到

B的函数，这个函数也可以表示为

f (x)＝x

；

（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和

y＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x→y（y2＝x）不是函数．

研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．

例2

已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．

分析

求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．

解

f(3)=3×32-5×3+2=14，

f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，

f(a)=3a2-5a+2，

f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．

说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．

三、课堂小结

1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别. 2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．

四、课后作业

（1）P24练习Ex 5，6；P28习题

1，2，5．

函数的概念和图象（二）

三维目标

1．知识与技能

（1）进一步加深对函数概念的理解；

（2）掌握同一函数的标准；

（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

2．过程与方法

经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

重点难点

1．教学重点

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

2．教学难点

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

教学过程

一、创设情境

下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

（1）f(x)＝

(x－1) 0；g(x)＝1 ；

（2）

f(x)＝x；g(x)＝x2；

、（3）f(x)＝x

2；g(x)＝(x + 1) 2 ；

（4）

f(x) ＝|x|；g(x)＝x2．

二、讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

例1

求下列函数的定义域：

（1）yx1x1；

（2）y13(x1)0|x|x；

12x1．

x（3）yx235x2；

（4）y2x3分析

一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解

（1）由x10,x1,得即x1，故函数yx1x1的定义域是[1，)．

x10,x1,x10,x1,(x1)0（2）由得

故函数y是{x|x<0，且x≠1}．

x0,|x|x0,|x|x2x30,x3,（3）由得即5≤x≤5且x≠±3，

25x0,5x5,

故函数的定义域是{x|5≤x≤5且x≠±3}．

3x,2x30,23（4）由2x0,即x2,

∴≤x＜2，且x≠0，

2x0x0,

故函数的定义域是{x|3≤x＜2，且x≠0}．

2说明

求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

①

分式中，分母不等于零．

②

偶次根式中，被开方数为非负数．

③

对于yx0中，要求

x≠0．

若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

B

A

C f

f(x)

因此我们可以知道：对于函数f：A

B而言，如果如果值域是C，那么CB，x因此不能将集合B当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

解（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}．

（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1} 说明

通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．

y11例3 求下列函数的值域：

（1）yx24x6，x[1，5)；

（2）y3x1；

x13解：（1）y(x2)22．

作出函数yx24x6，x[1，5)数的值域为{y|2≤y＜11}．

2O的图象，由图观察得函15x

（2）解法一：y域为｛y|y≠3｝．

3(x1)444，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值3x1x1x13x1看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数x1解法二：把y定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是

y－3≠0，y＋1，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

－≠－1y－3点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

三、课堂小结

（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．

四．课后作业

（1）P25练习7；

（2）求下列函数的值域：

（1）y

2x1；（2）yx22x3,x(1，6]．（3）y3|2x1|．

x1

函数的概念和图象（三）

三维目标

1．知识与技能

（1）能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；

（2）能利用基本初等函数图象结合图象变换作出所求函数的图象．

2．过程与方法

通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想．

3．情感、态度与价值观

培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

重点难点

1．教学重点

根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；

2．教学难点

函数图象可以是一些点、一些线段、一段曲线等，利用图象变换作出所求函数的图象．

教学过程

一、情境创设

下列图象哪些是函数图象？那些不是？为什么？

y y y

3 3 3

O 3 3 x O x O 3

二、讲解新课

例1试画出下列函数的图象：

3x-1（1）y＝（—1≤x≤2，且x∈Z)；（2）y＝|2x－1|；

2（3）y＝x2－4x+3(1≤x≤3)

．

解：图象如下：

y y y

x

x 3 x O 1 O O

1 －1 －1 1

（1）

（2）

（3）

点评：做函数的图像，主要是描点法，要注意函数的定义域，如（1），定义域是一些整数构成的集合，图像是一些孤立的点，如（3），图像是一抛物线的一部分．

例2作出下列函数的图象：

x（1）y＝；

（2）y＝|x2－2x－3|．

x＋1x11解：（1）

y＝＝1－，此函数图象可看作把函数y＝－的图象向左平移1个单位，xx＋1x＋1再向上平移1个单位所得．

x2－2x－3，x≤－1或x≥3，

（2）y＝|x－2x－3|＝

2－(x－2x－3)，－1＜x＜3．2y 3 x O 3 x

分别作出图象如下：

教学过程

一、情境创设

某型号彩电单价为3100元，买x (x∈{1，2，3，4，5})台彩电需要y元．试用三种表示法表示函数y＝f(x) ．

二、讲解新课

一

列表法：用列出表格来表示两个变量的函数关系。

海尔某型号彩电单价为3100元，买彩电的台数x与付款款额y的函数关系如下表示

x y

列表格的方法很直观地反映了彩电的台数与付款款额的关系，如3台则是18600元，但这种表示方法一般不完整，如某单位要买15台，需付的款额表中就没有，如何得到款额呢？

可以用一个表达式y=3100x来表示.令x=15，可得到款额数

前者表示函数的方法叫做列表法，后者表示函数的方法叫解析法，

列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值,

缺点：但表示方法一般不完整

解析法优点：简明、全面的概括了变量之间的关系，可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值，

缺点：抽象、不直观

y 图像法：

1500

x O 1

优点：直观形象地表示出函数值的变化情况。

缺点：不准确

以上是函数的三种表示方法

请同学举出生活中或者以前的学习中所接触的函数的表示法

例如银行利率表、列车时刻表等等，一般的，“离散型”问题常用列表法

又如股票图等，用图象法则有效的反映了两个变量之间的关系，

例1某洗衣店中，每洗一次衣服需要付费4元，若在这一家店洗衣10次，则其后可以免费洗一次，若某人在这店中洗了15次衣服．

（1）根据题意填写下表：

洗衣次数n 洗衣费用c

5

9

10

11

15

1 3100 2 6200 3 9300 4 12400 5 15500 （2）写出当n≤15时函数的解析式．

解：（1）

洗衣次数n 洗衣费用c

5 20 9 36 10 40 11 40 15 56 （2）当洗衣次数n≤10（n∈N）时，c＝4n；

当洗衣次数11≤n≤15（n∈N）时，c＝4(n—1) ．

4n,1n10且nNc

即

．

4(n1),11n15且nN在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.

例2 如图，梯形OABC各顶

y 点的坐标分别为O(0，0)，

B C A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．

一条与y轴平行的动直线l从

O点开始作平行移动，到A点

x 为止．设直线l与x轴的交点为

M l O A l l M，OM＝x，记梯形被直线l截

7得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域以及f[f()]的值．

211解：（1）当0≤x≤2时，图形为等腰直角三角形，y＝xx＝x2；

22（2）当2＜x≤4时，图形为一个直角梯形，它又可以分割成一个等腰三角形(确定的)与一1个矩形，y＝22＋(x－2)2＝2x－2；

2（3）当4＜x≤6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，y＝111(6＋2)2－(6－x)2＝－x2＋6x－10．于是y＝f(x)＝22212x，0≤x≤2，22x－2，2

1－x2＋6x－10，4

又当0≤x≤2时，y[0，2]；当2＜x≤4时，y2，6]；当4＜x≤6时，y6，8]．所以函数的值域是[0，8]．

715

f[f()]＝f(5)＝．

22点评：求函数表达式时，若不同情形下，表达式不同，就需要用分段函数来表达．另外，由实际问题确定的函数，还应注意函数的定义域往往会受实际问题的约束．

三、课堂小结

（1）函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法．

(2)

在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.

四、课后作业

（1）P32练习2、4；（2）P32习题4，9．

函数的表示方法（二）

三维目标

1．知识与技能

（1）体会简单复合函数的含义，会求简单的复合函数的定义域；

（2）根据条件能用配凑法或换元法，代定系数法求一些函数的解析式．

2．过程与方法

能够利用函数的解析式进行合理的推理，培养比较、分析、综合及抽象和概括能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

重点难点

1．教学重点

会求一些函数的解析式

2．教学难点

对于复合函数及其定义域的理解

教学过程

一、情境创设

如何理解函数f(x＋1)和函数f(x)之间的关系？请结合具体函数加以说明．

二、讲解新课

例1已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝9＋4x，求f(x)的解析式．

解：令f(x)＝ax＋b，

则f[f(x)]＝a2x＋(a＋1)b＝4x＋9，

又f[f(x)]＝9＋4x，

所以

a2＝4，即a＝±2．

当a＝2时，b＝3，f(x)＝2x＋3；

当a＝－2时，b＝－9，f(x)＝－2x＋9．

点评：在已知函数解析式的形式的条件下，通常可用待定系数法求解析式，先设出函数的解析式，再根据条件找出有关参数的方程或方程组，最后解得参数的值，从而求出函数的解析式．

例2分别在下列条件下，求出相应的函数f(x)的解析式：

11（1）f(x＋1)＝x2＋x；

（2）f(x－)＝x2＋2；

xx（3）f(x＋1)＝x＋2x．

解：（1）令t＝x＋1，则x＝t－1，

所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t．

再把t换成x得f(x)＝x2－x(xR)．

11（2）由条件可得f(x－)＝(x－)2＋2，

xx1用x替换x－得

x所以

f(x)＝x2＋2(xR)．

（3）解法1：

f(x＋1)＝x＋2x+1－1＝(x1)21，

故

f(x)＝x2—1．（x≥1）) 解法2：

令x＋1＝t，则x＝(t—1)2，（t≥1）．

代入已知条件得

f(t)＝t2—1．

把t换成x得

f(x)＝x2—1．（x≥1）．

点评：已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，即令g(x)＝t，用t表示x，代入已知表达式得f(t)，最后把t换成x，从而得f(x)的解析式（如例2（1）和（3）解法2）②配凑法，即把f[g(x)]的表达式还原成用g(x)表示的形式，最后把g(x)换成x而求出f(x)的解析式（如例2（2）和（3）解法1）

要特别提醒的是：在利用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x的取值范围，否则就得不到正确的解析式．

例3

若f(x)＝2x－1，g(x)＝

x2，则f(g(x))＝_______

，g

(f

(x))＝_______

，f(f(x))＝_______

，g (g (x))＝_______

．

例4

（1）已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x＋1)的定义域；

（2）已知函数f(x＋1)的定义域是[0，1]，求函数f(x)的定义域．

解：无论函数f(x)，还是函数f[g(x)]的定义域，均是指其中自变量x的取值范围．

（1）f(x＋1)中自变量x应满足0≤x＋1≤1，即其定义域为[－1，0]；

（2）由于函数f(x＋1)的定义域是[0，1]，即其中0≤x≤1，则1≤x＋1≤2，即函数f(x)的定义域为[1，2] ．

注：一般地，若函数f[g(x)]的定义域为D，则函数f(x)的定义域为函数y＝g(x)，（xD）的值域；若函数f(x)的定义域为D，则函数f[g(x)]的定义域为不等式g(x)D的解集．

三、课堂小结

（1）求f(x)的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，②配凑法. (2) 复合函数定义域是指其中自变量x的取值范围.

四、课后作业

（1）设函数f(x)＝2x－1，则f(x+1)＝

，f(f(x))＝

．

（2）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x＋2)的定义域为

（3）已知函数f(x)＝2x-5，则函数f(2x—1)的定义域为

．

（4）若函数f(x2)的定义域为[－1，2]，则函数f(x＋1)的定义域为

．

及P33习题10，13．