2.2.1 函数的单调性教学活动设计方案

“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．

函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点. 【教学方法】

启发式教学法、探究教学法、合作学习

【教学手段】计算机、投影仪．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题（利用电脑展示）

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，

是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：股票价格、水位变化、心电图等等

春兰股份线性图

．

水位变化图

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数yx2,yx2,yx2,y1的图象，并且观察自变x量变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）

预案：生：函数yx2在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数yx2在整个定义域内 y随x的增大而减小．

师：函数yx2的图像变化规律

生：在y轴的的左侧y随x的增大而减小．在y轴的的右侧y随x的增大而增大。

师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律生：在(0,)上 y随x的增大而增大，在(,0)上y随x的增大而减小．

师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。

1(3)函数y的图像变化规律如何。

x生:（1）定义域中的减函数。

（2）在(0,)上 y随x的增大而减小，在(,0)上y随x的增大而减小．

师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？学生分组讨论。从定义域，图像的角度考虑，也可以举反例

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

2问题1：下图是函数yx(x0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区x间为增函数和减函数吗？（电脑显示，学生分组讨论）

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：如何从解析式的角度说明f(x)x2在[0,)为增函数？

预案：

生：

在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以f(x)x2在[0,)为增函数．

生：仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间[0，+∞）上为单调递增函数，应该举出无数个。

由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的说法表示赞同。

生：函数yx2(x[1,))无数个如（2）中的实数，显然f(x)也随x的增大而增大，是不是也可以说函数yx2在区间[1,)上是增函数？可这与图象矛盾啊？

师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5……有无数33个自然数都比大，那我们能不能说所有的自然数都比大呢？所以具体值取得22再多，也不能代表所有的，思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。

2生：任取x1,x2[0,)且x1x2,因为x12x2(x1x2)(x1x2)0,即2，所以f(x)x2在为增函数．

x12x2 旧教材的定义在这里就可以归纳出来，但是人教B版新教材使用了自变量的增量和函数值的增量来表述，并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备，所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。 （5）仿（4）x1,x2[0,)且x1x2，由图象可知，即给自变量一个增量xx2x10,x2x1x，函数2值2的增量2yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)(x1x)2x1x12xx1(x)2x12xx1(x)2x(2x1x)

所以f(x)x2在[0,)为增函数。

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律，判断函数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫. 3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

(1)板书定义

设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值x1,x2,当改变量xx2x10时，都有yf(x2)f(x1)0，那么就称函数yf(x)在区间M上是增函数，如图（1）当改变量xx2x10时，都有yf(x2)f(x1)0，那么就称函数yf(x)在区间M上是减函数，如图（2）

(2)巩固概念（以下问题老师提问后，学生适当讨论后回答）

师：根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)，

生：能。因为定义中区间M中的任意两个值x1,x2若x1x2，xx2x10都有yf(x2)f(x1)0。

师：我们来比较一下增函数与减函数定义中x,y的符号规律，你有什么发现没有？

生：增函数都为正，减函数一正一负。

师：如果将增函数中的“当xx2x10时，都有yf(x2)f(x1)0”改为当xx2x10时，都有yf(x2)f(x1)0结论是否一样呢？

生：一样

师：减函数的定义是否也可以进行这样修改？

生：可以。

师：根据刚才的分析，你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系？

生：自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调递增函数，如果是异号则是单调递减函数。

师：那你们能否将定义修改地更为简洁呢？

生：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若f(x1)f(x2)0即x1x2

f(x1)f(x2)yy0，则函数y=f(x)是增函数，若0，则函数y=f(x)为减0即xxx1x2函数。

师：很好，事实上f(x1)f(x2)y的符号决定了函数f(x)的单调性，我们不仅要x1x2x能从图象上直观判断函数的单调性，更应该要从单调性的本质上来理解这个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性，说明大家对单调性概念的理解还是比较非常深刻的。

【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化

判断题：

①已知f(x)1因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数．

x②若函数f(x)满足f(2)f(3)则函数f(x)在区间2,3上为增函数．

③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．

④因为函数f(x)11在区间,0),(0,上)都是减函数，所以f(x)在xx(,0)(0,)上是减函数. ⑤观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间及其单调性。

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．如图所示

y o O o x

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法，适当延展

1例

证明函数f(x)在（0，+）是减函数．

x1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取x1,x2(0,)且x1x2,xx2x10 设元

yf(x2)f(x1)11x2x1 求差

x1x2 变形

x1x2x

x1x20x1x2x0,x1x20 断号

y0

1在（0，+）是减函数． 定论

x1思考：如何证明f(x)在（-,0)上的单调性。

x∴函数函数f(x)2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）断号、定论．

练习：证明函数f(x)x在0,上是增函数．

问题：要证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，除了用定义来证，可以让学生尝试用这种等价形式---对任意的x1,x2R,x1,x2(a,b)，且x1x2有y0，证明函数xf(x)x在0,上是增函数．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：求函数的定义域，设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

2．作业

书面作业：课本第50页练习B 3,课本第56页

习题2.1 A第6题．

课后探究：

(1) 函数值的改变量与自变量的改变量之比yy2y1叫做函数yf(x)从x1到xx2x1x2之间的平均变化率。研究一个函数在某个区间上是增函数还是减函数时，能否根据函数的平均变化率，即比值比值y的符号来判断函数y=f(x)在某个区间上是增函数还是减函数？xy的大小与函数值增大的快慢有什么关系？

x1(2) 研究函数f(x)x(x0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

x