信息技术应用 借助信息技术方程的近似解PPT及课堂实录内容

《方程的根与函数的零点》教学设计

衡南二中

全柄旭

一、学情分析

程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。 二、设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣。

教学原则：注重各个层面的学生。

教学方法：三学一导。

三、教学目标

1．知识与技能：

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；

②培养学生的观察能力；

2．过程与方法：

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；

②让学生归纳整理本节所学知识．

3．情感、态度与价值观：

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

四、教学重点、难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

五、教学过程设计

1．指导学生进行课前学习

预习教材，完成以下习题：

2．指导学生进行课堂学习

（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1 ①方程x22x30与函数yx22x3

②方程x22x10与函数yx22x1

③方程x22x30与函数yx22x1

图1

[师生互动] 师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。

零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点。

师：填表格

函数

yx22x3

yx22x1

yx22x1

函数的零点

方程的根

生：经过独立思考，填完表格。

师：提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论。

师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系？

生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论。

师：概括总结前两个结论（请学生总结）。

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数yx22x3的零点为x =-1,3。

2）函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

3）方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

师：引导学生仔细体会上述结论。再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程f(x)0而得到（代数法）；

可以利用函数yf(x)的图象找出零点（几何法）。

问题2：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示。

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论。

二次函数yax2bxc(a0)的零点：看△

１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。

２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

第一阶段设计意图：

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力．

（2）零点存在性的探究

你能将结论进一步推广到yf(x)吗？

新知：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）。反思：函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根、函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

例1：求函数f(x)x(x216)的零点

思考：方程lnx2x60是否有实数根？

有几个实数根?一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？

探究1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗? 探究2：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？

探究3：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

探究4：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

图3（反例）

师：总结两个条件：

1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；

2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0。

一个结论：函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点。

补充：什么时候只有一个零点？

（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点。

思考：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

设计意图：

教师引导学生理解函数零点存在定理 例2：求函数f(x)=2xlgx12的零点个数

例3：方程log3xx3的解所在区间为（）A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)1变式训练3：函数f(x)=2x的零点所在的区间（）x

1331A：（0，）B.,1C.1,D.,22222师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用。

生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为

下一节的用二分法求方程的近似解做准备。

设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备。

（3）探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研

研究发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生

学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大

小情况。

生：分组讨论，各抒己见，在探究学习中得到数学能力的提高。

设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备。

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。

（4）课堂小结：

本设计根据“三学一导”的教学法，突出了学生的主体作用，有效激发了学生学

习的兴趣．同时也遵循了由浅入深、循序渐进的原则，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．

（5）作业回馈

通过学生的作业反馈，重点辅导没有落实的课标要求。

3．指导学生进行课后学习