习题2.2设计意图

2.2.2 对数函数及其性质·教学设计

执教者

冯彩

教学目标

1.会根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究他们的有关性质

2.掌握对数函数的单调性，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对数函数和指数函数的性质的理解。

教学重点

1.对数函数的图象及性质。

2.对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小。

教学难点

底数a对对数函数性质的影响。

教学过程设计

一．复习提问，引入新课

师：在新课开始前，我们先复习一些有关知识。指数式和对数式的等价关系是什么？

生：axNxlogaN。

师：各个字母的取值范围呢？

生：a＞0且a≠1；N＞0；x∈R。

师：什么是指数函数？

生：函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数。

师：指数函数的定义域和值域是什么？

生：定义域是R，值域(0,)

师：对数函数的概念？

生：一般地，函数ylogax，(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中定义域是（0，+∞）

二. 新课讲授 对数函数的图象和性质：

同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。在同一坐标系内画出函数ylog2x和ylog1x的图象。

2师：画函数都有哪些步骤呢？

生：列表、描点、连线。

师：对。我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象，在画图时，首先要列出x、y的对应值表，然后用描点法画出函数图象。（利用多媒体演示解题过程）

x 1/2 1 0 2 1 4 2 8 3 ylog2x

-1

ylog2x

0 (1,0)

x=1

ylog1x

2

对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类。现在我们观察对数函数的图象，并对照指数

函数的图象特征，分析对数函数的图象特征，从而得到对数函数的性质。请同学们先观察这两个对数函数的图象有哪些共同的特征。

提问学生回答

师生共同总结

我们通过观察图象的特征，归结如下：

图

象

a＞1

0＜a＜1

ylog2x

0 （1,0）0 （1,0）

ylog1x

2

图

象

特

征

(1)图象都在y轴的右方

函

(2) 图象都经过（1，0）点

数

(3) 当a＞1时，图象上升；

当0＜a＜1时，图象下降

性

(3)

当a＞1时，在（0，1）内图

象在x轴的下方，在（0，+∞）质

内图象在x轴的上方；

当0＜a＜1时，图象正相反

(1)

定义域是（0，+∞）；

值域是R (2)

过定点（1，0），

即x=1时，y=0 (3) 当a＞1时，为增函数；

当0＜a＜1时，为减函数

(4)

当a＞1时，若0＜x＜1，则y＜0，若x＞1，则y＞0；

当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则y＞0，若x＞1，则y＜0

师：我们知道底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称,观察对数函数ylog2x和ylog1x的图象，我们有什么发现？

2学生思考，提问并总结

对数函数的其他性质：

1．

对数函数ylogax和对数函数ylog1x的图象关于x轴对称；

a2．对数函数是非奇非偶函数。

例1：比较下列各组中两个数的大小：

（1）ylog23.4,ylog28.5 （2）ylog0.31.8,ylog0.32.7

（3）yloga5.1,yloga5.3(a0,a1)

师：请同学们观察这三组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小？

生：因为函数ylog0.3x在（0，+∞）上是减函数，又因为1.8＜2.7，所以

log0.31.8log0.32.7

师：对。（3）题中的底数和（1）、（2）题有什么不同呢？

生：底数不是一个确定的实数。

师：这时候能不能直接进行比较呢？

生：a＞1和0＜a＜1两种情况讨论。

（师生共同完成解题过程）

上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小。当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数。只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小。

例2：求下列函数的定义域

（1）ylogax2 （2）yloga(4x)

师：求函数的定义域要注意那些问题？

生：（1）分母不能为0；（2）偶次根号下，被开方数非负；（3）0的0次幂没有意

义。

师：还有没有其他限制？

生：对数的真数大于0。

师：好，我们现在来看这题，其实是考查对数函数的定义域，与底数无关，只要满足

真数大于0就可以了。（利用多媒体演示解题过程）

思考题：比较下列两个数的大小：ylog76,ylog45

总结：比较两个对数式的大小，若底数相同，直接利用对数函数的单调性进行比较；若底数和真数都不同，借助中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小。通常引入中间变量1或0。

三．课堂练习

p81 # 3 (简要讲解) 四．课堂小结

1.

正确理解对数函数的定义；

2.

掌握对数函数的图象和性质；

3.

能利用对数函数的性质解决有关问题。

题型：

1．求定义域；

2．比较两个对数式的大小关系。

注意：

1．类比记忆指数函数和对数函数；

2．看见函数式想图象，结合图象记性质。

五．布置作业

1．p82 # 7；

2．

p83 # 8。

六．补充题

在同一坐标系内画出下列对数函数的图象：ylog2x,ylog3x,ylog10x，观察它们的图象，你能发现底数的变化是如何影响对数函数的图象的吗？