小结优秀教案案例

2.3

幂函数

【课标要求】

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x，y＝x，

，－1y＝x的图象，了解它们的变化情况．

【核心扫描】

1．幂函数的概念和性质．(重点) 2．五种幂函数的图象的特点．(难点) 3．幂函数与指数函数的区别．(易混点) 新知导学

1．幂函数的概念

函数

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象与性质

互动探究

α探究点1 幂函数y＝x与指数函数y＝xa(a>0且a≠1)有何区别？

23

提示

幂函数y＝x的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数x函数y＝a中，底数是常数指数是自变量．

探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？

2提示

不对，幂函数y＝x的图象过第二象限，所有的幂函数的图象都不过第四象α限，因为对y＝x而言，

当x>0时，必有y>0. 类型一

幂函数概念的理解及应用

【例1】

函数f(x)＝(m－m－1)x2m2＋m－3α是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

[思路探索]

首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．

解

根据幂函数定义得，

m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

2

当m＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，

－3当m＝－1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．

3∴f(x)的解析式为f(x)＝x. [规律方法]

(1)本题在求解中常因不理解2幂函数的概念而找不出“m－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数αy＝x(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．

【活学活用1】

若幂函数f(x)＝(m－2m－2)x的图象与坐标轴没有交点，试求实数m的值．

解

由f(x)＝(m－2m－2)xm＋m－1是幂函数，

2则m－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3. 22m2＋m－123

(1)当m＝3时，f(x)＝x过原点(0,0)，与坐标轴相交，不合题意；

－1(2)当m＝－1时，f(x)＝x的图象与坐标轴无公共点．因此，实数m的值为－1. [思路探索]

先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察函数值的变化情况，得出结论．

α[规律方法]

1.幂函数y＝x的图象恒过定点(1,1)，且不过第四象限．

2．解决幂函数图象，需把握两个原则：(1)幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．

[规律方法]

1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．

11

2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．

. 易错辨析

幂函数的性质理解不透致误

3m－9*【示例】

已知幂函数y＝x(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足

课堂达标

1．下列函数是幂函数的是

(

)．

x5A．y＝5

B．y＝x

3C．y＝5x

D．y＝(x＋1)

x解析

函数y＝5是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是3幂函数；函数y＝(x＋1)的底数不是自5变量x，不是幂函数；函数y＝x是幂函数．

答案

B

4．幂函数y＝(m－m－1)x在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．

2

解析

由m－m－1＝1，得m＝2或m＝－1. －2

又当m＝2时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为减函数，合题意；

当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不合题意．

答案

2 m2－4m5．已知幂函数f(x)＝x的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，求整数m的值．

解

由题意，得m－4m<0，

∴0

－4当m＝2时，f(x)＝x的图象关于y轴对称，

且在(0，＋∞)上递减．

22－m

故整数m＝2. 课堂小结

α1．幂函数y＝x的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．

2．幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

3．简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．

(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．