小结教学内容

第3讲

函数的奇偶性

1．奇函数、偶函数

(1)定义

图像关于原点对称的函数叫作奇函数．

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．

(2)判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：

①考查定义域是否关于原点对称．

②考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．

(3)性质

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．

考向一

判断函数的奇偶性

【例1】►判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3－2x；

(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；

(3)f(x)＝(x－1)－

【训练1】

若函数f(x)＝3x＋3x与g(x)＝3x－3x的定义域均为R，则(

)．

－－1＋x. 1－xA．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

考向二

函数奇偶性的应用

x＋1x＋a【例2】►(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. x【训练2】

(2012·武汉模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(

)．

A．－3

B．－1

C．1

D．3 考向三

函数的奇偶性与周期性

【例3】►设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．

【训练3】

(2013·淄博模拟)已知函数f(x)对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 012)＋f(2 013)的值为________．

4．已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2，则f(x)＝________.

1．(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(

)．

1A．y＝x＋1

B．y＝－x3

C．y＝

D．y＝x|x| x2．(2013·江西九校联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值(

)．A．恒为正数

B．恒为负数C．恒为0

D．可正可负

3．(2012·西安调研)函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(

)．

A．3

B．0

C．－1

D．－2 4．(2013·临沂质检)已知函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)时，f(x)＝2 013x2，则f(2 013)＝________. 5.(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(

)．

A．y＝cos 2x，x∈R

ex－exC．y＝，x∈R

2－B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 D．y＝x3＋1，x∈R

6. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(

)．

A．y＝x3

1C．y＝2

xB．y＝ln |x| D．y＝cos x

7.(2012·浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，3则f2＝________. 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________. 9．下列判断正确的是(

)．

x2－2xA．函数f(x)＝是奇函数B．函数f(x)＝(1－x) x－21＋x是偶函数

1－xC．函数f(x)＝x＋x2－1是非奇非偶函数D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数

10．已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f(x2－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为(

)．

A．1 B．2

C．3

D．4 11．(2012·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________. 12.(2012·重庆)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 13．(2013·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(

)．A．－2

B．2

C．－98

D．98 14.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(

)．

A．(1,3)

B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)

D．(－1,0)∪(0,1)