阅读与思考 对数的发明板书设计及设计说明

2.2.2 对数函数及其性质（第一课时）

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．

1.教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。

2.教学难点：对数概念的理解；对数性质的理解。

提出问题

如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，

1

对于每一个碳14含量P，通过对应关系都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．

新知探究

(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的4，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关31系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的64，则至少要漂洗几次？

(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？

(3)为什么对数函数的概念中明确规定a＞0， a≠1?

(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？

(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．

活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．

(2)对于式子定义：

，如果用字母a替代4，这就是一般性的结论，即对数函数的1函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．

(3)根据对数式与指数式的关系，知y＝logax可化为a＝x，由指数的概念，要使a＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.

yy

2

(4)因为y＝logax可化为x＝a，不管y取什么值，由指数函数的性质a＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．

(5)只有形如y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数，

即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．

提出问题

yy (6)把y＝log2x和(7)你能证明上述结论吗？

的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？

(8)能否利用y＝log2x的图象画出的图象？请说明画法的理由．

活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表2-3，及图2.2-1,2.2-2及2.2-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识． 讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．

(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．

(3)列表(学生自己完成)：

3

x y＝log2x

0.25

0.5

－2

2

－1

1

1

0

0

2

1

－1

4

2

－2

8

3

－3

16

4

－4

32

5

－5

…

…

…

作图1、图2：

图1 图2

(4)通过观察图1，可知y＝log2x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．

可以再画下列函数的图象：y＝log6x，点，推广到一般的情形．

，以作比较，重新观察函数图象的特(5)通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．

图象的特征

(1)图象都在y轴的右边

(2)函数图象都经过 (1,0)点

函数的性质

(1)定义域是(0，＋∞)

(2)1的对数是0

4

(3)从左往右看，当a＞1时，图象(3)当a＞1时，y＝logax是增函数，逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐当0＜a＜1时，y＝logax是减函数

渐下降

(4)当a＞1时，函数图象在(1,0)(4)当a＞1时，

点右边的纵坐标都大于0，在(1,0)x＞1，则logax＞0，

点左边的纵坐标都小于0；当0＜a0＜x＜1，则logax＜0；

＜1时，图象正好相反，在(1,0)点当0＜a＜1时，

右边的纵坐标都小于0，在(1,0)点x＞1，则logax＜0，

左边的纵坐标都大于0

0＜x＜1，则logax＞0 由上述表格可知，对数函数的性质如下：

a＞1

0＜a＜1 图

象

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 性

x∈(0,1)时，y＞0；

x∈(0,1)时，y＜0；

质

x∈(1，＋∞)时，y＜x∈ (1，＋∞)时，y＞0

0 在(0，＋∞)上是减函在(0，＋∞)上是增函数

数

(6)在同一坐标系中作出y＝log2x和 x两个函数的图象如图3. 经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x轴对称．

5

图3 (7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上的任意一点，它关于x轴的对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在的图象上，反之亦然，所以y＝log2x和两个函数的图象关于x轴对称．

(8)因为y＝log2x和两个函数的图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x的图象，利用轴对称的性质画出的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．

例1求下列函数的定义域：

(1)y＝logax；(2)y＝loga(4－x)．

活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1. 2

6

变式训练

1．课本本节练习2. 2．求下列函数的定义域：

1(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log2x；

1(3)y＝log71－3x； (4)y＝. 解：(1)由1－x＞0得x＜1，所以所求函数定义域为{x|x＜1}．

(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0，所以所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}．

11得x＜3，所以所求函数定义域为{x|x＜3}．

(3)由(4)由得所以x≥1.

所以所求函数定义域为{x|x≥1}.

例2溶液酸碱度的测量．

溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg [H]，其中[H]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H]＝10摩尔/升，计算纯净水的pH. 活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH＝－lg [H]化为pH＝lg[H＋]，再利用对数函数的性质来说明．

＋＋－7＋＋1 点评：注意数学在实际问题中的应用．

7

在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，比，

看它们之间有何区别与联系．

，y＝log2x，的图象，比一活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象(如图4)．

可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1,0)；

当a＞1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点 (1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．

当0＜a＜1时，图象向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．

以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．

怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．

8

同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．

除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．

如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，

所以log1.50.5＜log0.50.3；

又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，

所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.

1．对数函数的概念．

2．对数函数的图象与性质．

3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．

4．数形结合与转化的数学思想．

9