阅读与思考 集合中元素的个数教学实录及点评

集合中元素的个数

一、教学目标：

1.通过有限集合的交集、并集发现集合中元素的个数的关系。初步学会从一般到特殊的方法归纳总结集合中元素的个数的计算方法。

2、掌握集合中元素的个数的计算方法

3、通过集合中元素的个数的计算方法的探究与学习，培养学生发现问题的能力，归纳推理的能力，培养学生热爱数学并利用所学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点：

1、教学重点：集合中元素的个数的归纳及简单的应用。

2、教学难点：集合中元素的个数的应用。

三、导入新课：

1.有限集：把含有有限个元素的集合A叫做有限集. 2.用card表示有限集合A中元素的个数.例如：A={a, b, c},则card（A）=3.

例：学校的小卖部进了两次货，第一次进的是圆珠笔、钢笔、橡皮擦、笔记本、方便面、汽水共6种。第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种。两次共进货多少种？

分析：用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种.就有

A={

圆珠笔、钢笔、橡皮擦、笔记本、方便面、汽水}，

B={圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便} 这里card（A）=6,card（B）=4.求两次共进货多少种？这个问题指的是求card（A∪B）。在这个例子中，两次进货有相同的品种，相同的品种数实际就是card（A∩B）. card（A∪B）=8，card（A∩B）=2 探究一、两个有限集合中元素的个数问题

若A∩B=Φ,显然有card(A∪B)=card(A)+card(B); 若A∩B≠Φ,利用维恩图表示card(A∪B)与card(A)+card(B)相比,后者比前者多了二者的公共部分(即card(A∩B)),由此我们可得：

结论1:已知两个有限集合A,B,有:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 即：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8

应用举例1 例1学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛? 分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合,B为球类运动会参赛的学生的集合,那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合,card(A),card(B),card(A∩B)是已知的,于是可以根据上面的公式求出card(A∪B). 解：设A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生},A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}，因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. 探究二:三个集合的并集中元素的个数问题. 为了便于说清楚问题,我们考虑A∩B≠Φ、C∩B≠Φ、A∩C≠Φ、A∩B∩C≠Φ的情况,利用维恩图知card(A∪B∪C)与card(A)+card(B)+card(C)相比,相对card(A∪B∪C)来说card(A)+card(B)+card(C)的数目中多计了card(A∩B)-card(A∩B∩C)，card(B∩C)-card(A∩B∩C),card(A∩C)-card(A∩B∩C)一次，card(A∩B∩C)两次,由此建立等量关系式:有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-[card(A∩B)-card(A∩B∩

C)]-[card(B∩C)-card(A∩B∩C)]-[card(A∩C)-card(A∩B∩C)]-2card(A∩B∩C) 整理得,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 结论2:已知三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 应用举例2 例2某校对68名学生去游览A、B、C三个公园的情况进行调查,统计结果如下: (1)每个人至少去过A、B、C三个公园中的一个; (2)到过A和B,B和C,C和A两个公园的人数分别为25人,21人,19人; (3)到过A或B,B或C,C或A公园的人数分别为60人,59人,56人. 试问,这些学生到过A、B、C公园的人数分别各为多少?三个公园都到过的学生有多少? 分析：本题是关于集合中元素个数公式的运用的一个题目,主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交,并这四个集合间的元素个数公式的运用.对于第二问应该要从题目各个条件的分析中找到答案.具体解法如下: 解：设A={去过A公园游览的学生};B={去过B公园游览的学生}; C={去过C公园游览的学生};A∪B={去过A或B公园游览的学生}; B∪C={去过B或C公园游览的学生};C∪A={去过C或A公园游览的学生} A∪B∪C={去过A,或B或C公园游览的学生};A∩B={既去过A也去过B公园游览的学生}；

B∩C={既去过B也去过C公园游览的学生}；C∩A={既去过C也去过A公园游览的学生} A∩B∩C={三个公园都去游览过的学生}. 由题意card(A∪B∪C)=68;card(A∩B)=25;card(B∩C)=21;card(C∩A)=19; card(A∪B)=60,card(B∪C)=59,card(C∪A)=56. (1)由公式:card(A)+card(B)=card(A∩B)+card(A∪B) card(B)+card(C)=card(B∩C)+card(B∪C) card(C)+card(A)=card(C∩A)+card(C∪A) 得: card(A)+card(B)=85①

card(B)+card(C)=80②

card(C)+card(A)=75③

由①②③解方程组得card(A)=40,card(B)=45,card(C)=35. (2)由公式card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)得

68=40+45+35-25-21-19+card(A∩B∩C), 所以,card(A∩B∩C)=13 答:学生到过A、B、C公园的人数分别为40人、45人、35人,三个公园都到过的学生有13人. 练习:学校举办运动会时，高一（1）共有28名同学参加比赛.有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和参加田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和参加球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和参加球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？