探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计一等奖

互为反函数的两个函数图像之间的关系

【基础知识】

学习函数的相关知识. 【教学目标】

1、了解反函数的概念意义

2、掌握互为反函数的两个函数图像的性质

3、了解反函数的求法，会求一些函数的反函数

4、培养良好的学习兴趣

5、通过函数y2x，与函数ylog2x的研究，体验从特殊到一般的思维发展过程

【教学过程】

一、反函数的概念

1、指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)是互为反函数.

2、反函数的概念：设函数y=f(x)(x∈A)的值域为C，如果反解得到的确定了一个从集合C到集合A的映射，则由这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x ∈A)的反函数。记为y=f-1(x)(x∈C) . 显然，y=f(x)(x∈A)与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数. 函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)-1的值域是它的反函数y＝f(x)的定义域. 在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同.反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在. 二、求反函数

1、观察函数y2x中x、y与函数ylog2x中x、y的关系. 2、反函数求解步骤：

(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y)；

(2)将x、y互换，得到y＝f-1(x)；

(3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域. 注意：步骤(3)是因为我们已经习惯于用x表示自变量，用y表示因变量.关键在于理解反函数的对应法则. 例1 求下列函数的反函数：

（1）y2x1；（2）yx. 三、反函数的存在性

1、怎样的函数才有反函数. 例如函数yx2的定义域为R，值域为0,.如果由yx2解出xy，对于y在0,上任一个值，通过式子xy，x在R上有两个值和他对应，故x不

是y的函数.所以函数yx2没有反函数.

2、结论1：如果函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则在(a，b)上存在反函数.从映射角度说，只有当构成函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数.

注意：(1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件，也就是说，一个函数不单调，也有可能存在反函数，比如反比例函数y在(-∞，0)∪(0，+∞) 上并不单调，但是在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)内存在反函数. 三、互为反函数间的关系

1、观察函数y2x的定义域、值域与函数ylog2x的定义域、值域关系. 2、结论2：原函数与反函数的定义域值域互换. 3、求函数y2x上的点A(1,)、B（0，关于直线yx的对称点1）、C（1，2）A/、B/、C/，并观察点A/、B/、C/是否在函数ylog2x的图像上. 1x124、观察函数y2x上的点P(x0,y0)关于直线yx的对称点P/是否在函数ylog2x的图像上. 5、那么指数函数yax(a0且a1)的图像与其反函数ylogax(a0且a1)的图像有何关系？其他互为反函数的两个函数图象又有何关系？

6、结论3：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.

四、其他性质

1、若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有

2、f［f-1(x)］＝x(x∈C)； 3、f-1［f(x)］＝x(x∈A)；

4、互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性；

5、奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数；

6、具有单调性的函数必有反函数；

7、两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.