小结课堂实录【3】

1.3.1单调性与最大(小)值教学设计

1教学目标

1通过对一些熟悉的函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义；

2会利用函数的单调性求函数的最值；

3体会单调性和最值的关系，感受量变和质变的辩证过程. 2学情分析

学生：理解函数单调性的概念，做好课前预习. 3重点难点

重点：函数最大小值的定义和求法；

难点：如何求一个具体函数的最值. 4教学过程 4.1 函数的单调性与最值 教学活动

活动1【导入】函数的单调性与最值

高一必修一

§1.3.2 函数的单调性与最值

【教学目标】

通过对一些熟悉的函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义；

会利用函数的单调性求函数的最值；

体会单调性和最值的关系，感受量变和质变的辩证过程. 【教学重难点】

重点：函数最大小值的定义和求法；

难点：如何求一人具体函数的最值. 【教学准备】

教师：将知识点与重点例题打到PPT中,并用几何画板作出一些常见函数图象；

学生：理解函数单调性的概念，做好课前预习. 【教学过程】

教学内容：观察PPT中的图片，比较其中的两个函数图象及其值域，你能发现什么？

设计意图：启发学生自己观察图象，利用函数的图象结合函数的值域，体会函数的最值的意义，增强直观感性认识。

师生活动：教师投影图象并指导学生观察，对比两个函数的图象，找出图的最低点，说明有的函数有最高或最低点。

学生：仔细观察函数的图象，找出最低点，通过观察函数的图象，学生会发现函数f(x)=x的图象没有最低点，而函数f(x)=x2的图象上有一个最低点(0,0),并且对任意的实数x,都有

,而f(x)=x的值域是R，函数f(x)=x2的值域是非负实数集. 教学内容：你能以函数f(x)=-x2为例说明函数f(x)=-x2的最大值的含义吗？最小值呢？

设计意图：通过观察、分析，在直观感觉的基础上，让学生自己探索得到函数最大小值的定义. 师生活动：

教师：提出问题，你能以函数f(x)=-x2为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？

学生:作出函数f(x)=-x2的图象，利用图象观察到函数的最高点(0,0),并且对任意的实数x,都有 . 教师：通过上面的学习你能给出函数的最大值的定义吗？在这里教师要鼓励学生按照自己的理解，给出最大值的定义，对于给出的定义比较严格的，教师要及时给以表扬，让学生有一种成功感. 学生：用尽可能准确的语言给出函数最大值的定义，并与教材上的定义对比，找出自己的定义中不严格、不准确或者不简练的地方. 师生:共同探索得到：

（1）M首先是一个函数值，它是值域内的一个元素，如f(x)=-x2的最大值为0,有f(0)=0. （2）对于定义域内的全部元素都有

成立.

教师：提出问题：请同学们按照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义.这样做的主要目的是培养学生的归纳类比能力. 学生：类比函数最大值的定义，给出最小值的定义，并说明在函数最小值的定义中应注意的地方. 教学内容：阅读教材P30的例3，你能用所学的最大值的知识来解决吗？

设计意图：本题是一个实际应用题，让学生学会利用物理学的运动原理，将实际问题转化为数学中的二次函数问题，再利用二次函数的求最值的方法求解.由于学生对物理学的运动原理并不熟悉，教师要在这里给学生以适当的指点，这样可以激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学是有用的，是可以解决实际问题或相关学科问题的. 师生活动：

教师：指导学生阅读例3,由于本题是实际问题，题目本身的文字叙述较长，学生在阅读中可能会存在一定的由于阅读能力带来的困难，教师要给以适当的引导和解释，便于学生理解题意，培养学生的阅读自学能力. 学生：阅读例3,理解题意，尝试解决，对于不明白的地方可以交流讨论. 老师：投影图象并分析例3，指出其运动的轨迹是抛物线的一部分.教师指点、启发学生:如何求二次函数的最值？

师生：教师归纳、概括并板书学生的总结，并提出：对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数可以先画出其图象，根据函数的性质及定义域来求最值. 教学内容：阅读教材例4. 设计意图：让学生知道利用函数的单调性是求函数最值的一种常见方法，要求学生在学习过程中体会探索、归纳，体会数学发现的愉悦，并由学生总结求函数的最值的一般步骤，培养学生的归纳能力. 师生活动：

教师：指导学生阅读题目，引导学生思考：教材中为什么要先作出函数的图象？目的是什么？并指导学生动手作出函数

的图象. 学生：利用自己学过的知识画出函数的图象，提出作图的方法：可以用描点法，也可以用平移法.在这里可以充分发挥学生的主观能动性，让学生提出自己的作法，发表自己的见解.对提出各种解法的学生都要给予适当的表扬，激发他们学习数学的兴趣. 教师：根据学生所作的函数的图象，由PPT图片引导学生观察函数的图象，得到这个函数是单调函数，提出问题：如何证明这个函数的单调性？

学生：回顾证明函数单调性的一般步骤，并尝试证明. 教师：板书函数单调性的证明，并利用单调性求出函数在区间[2,8]上的最值. 师生：教师引导总结、归纳：对于不熟悉的函数可以先画出图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值. 教学内容：课堂练习：教材P32练习第4题. 补充练习：求函数

的最大值和最小值. 设计意图：利用最大小值的定义来解决与最值有关的简单问题. 师生活动：

学生：独立练习，必要可讨论. 教师:巡视课堂，收集反馈信息，个别辅导，最后归纳、概括给出规范的解题过程. 补充练习的参考答案: 函数

的最大值为

,最小值为0. 教学内容：系统小结. 设计意图：让学生构建自己的知识网络. 师生活动: 师生：让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结，得到：

(1)函数最值的定义；

(2)求函数最值的一般方法：

①对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最值；

②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值. 课堂练习：

已知函数

在[2,3]上有最大值5和最小值2，求

a与b的值.(答：a=1,b=0,或a=-1,b=3) 已知函数

,求

的最小值. 求函数

在区间[0,2]上的最值（注：其中

为字母常数,最值表达式用

表示.）. 变式：求函数

在区间[0,2]上的最值. 1.3.1 单调性与最大（小）值

课时设计

课堂实录

1.3.1 单调性与最大（小）值

1函数的单调性与最值 教学活动

活动1【导入】函数的单调性与最值

高一必修一

§1.3.2 函数的单调性与最值

【教学目标】

通过对一些熟悉的函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义；

会利用函数的单调性求函数的最值；

体会单调性和最值的关系，感受量变和质变的辩证过程. 【教学重难点】

重点：函数最大小值的定义和求法；

难点：如何求一人具体函数的最值. 【教学准备】

教师：将知识点与重点例题打到PPT中,并用几何画板作出一些常见函数图象；

学生：理解函数单调性的概念，做好课前预习. 【教学过程】

教学内容：观察PPT中的图片，比较其中的两个函数图象及其值域，你能发现什么？

设计意图：启发学生自己观察图象，利用函数的图象结合函数的值域，体会函数的最值的意义，增强直观感性认识。

师生活动：教师投影图象并指导学生观察，对比两个函数的图象，找出图的最低点，说明有的函数有最高或最低点。

学生：仔细观察函数的图象，找出最低点，通过观察函数的图象，学生会发现函数f(x)=x的图象没有最低点，而函数f(x)=x2的图象上有一个最低点(0,0),并且对任意的实数x,都有

,而f(x)=x的值域是R，函数f(x)=x2的值域是非负实数集. 教学内容：你能以函数f(x)=-x2为例说明函数f(x)=-x2的最大值的含义吗？最小值呢？

设计意图：通过观察、分析，在直观感觉的基础上，让学生自己探索得到函数最大小值的定义. 师生活动：

教师：提出问题，你能以函数f(x)=-x2为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？

学生:作出函数f(x)=-x2的图象，利用图象观察到函数的最高点(0,0),并且对任意的实数x,都有 . 教师：通过上面的学习你能给出函数的最大值的定义吗？在这里教师要鼓励学生按照自己的理解，给出最大值的定义，对于给出的定义比较严格的，教师要及时给以表扬，让学生有一种成功感. 学生：用尽可能准确的语言给出函数最大值的定义，并与教材上的定义对比，找出自己的定义中不严格、不准确或者不简练的地方. 师生:共同探索得到：

（1）M首先是一个函数值，它是值域内的一个元素，如f(x)=-x2的最大值为0,有f(0)=0. （2）对于定义域内的全部元素都有

成立. 教师：提出问题：请同学们按照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义.这样做的主要目的是培养学生的归纳类比能力. 学生：类比函数最大值的定义，给出最小值的定义，并说明在函数最小值的定义中应注意的地方. 教学内容：阅读教材P30的例3，你能用所学的最大值的知识来解决吗？

设计意图：本题是一个实际应用题，让学生学会利用物理学的运动原理，将实际问题转化为数学中的二次函数问题，再利用二次函数的求最值的方法求解.由于学生对物理学的运动原理并不熟悉，教师要在这里给学生以适当的指点，这样可以激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学是有用的，是可以解决实际问题或相关学科问题的. 师生活动：

教师：指导学生阅读例3,由于本题是实际问题，题目本身的文字叙述较长，学生在阅读中可能会存在一定的由于阅读能力带来的困难，教师要给以适当的引导和解释，便于学生理解题意，培养学生的阅读自学能力. 学生：阅读例3,理解题意，尝试解决，对于不明白的地方可以交流讨论. 老师：投影图象并分析例3，指出其运动的轨迹是抛物线的一部分.教师指点、启发学生:如何求二次函数的最值？

师生：教师归纳、概括并板书学生的总结，并提出：对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数可以先画出其图象，根据函数的性质及定义域来求最值. 教学内容：阅读教材例4. 设计意图：让学生知道利用函数的单调性是求函数最值的一种常见方法，要求学生在学习过程中体会探索、归纳，体会数学发现的愉悦，并由学生总结求函数的最值的一般步骤，培养学生的归纳能力. 师生活动：

教师：指导学生阅读题目，引导学生思考：教材中为什么要先作出函数的图象？目的是什么？并指导学生动手作出函数

的图象. 学生：利用自己学过的知识画出函数的图象，提出作图的方法：可以用描点法，也可以用平移法.在这里可以充分发挥学生的主观能动性，让学生提出自己的作法，发表自己的见解.对提出各种解法的学生都要给予适当的表扬，激发他们学习数学的兴趣. 教师：根据学生所作的函数的图象，由PPT图片引导学生观察函数的图象，得到这个函数是单调函数，提出问题：如何证明这个函数的单调性？

学生：回顾证明函数单调性的一般步骤，并尝试证明. 教师：板书函数单调性的证明，并利用单调性求出函数在区间[2,8]上的最值. 师生：教师引导总结、归纳：对于不熟悉的函数可以先画出图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值. 教学内容：课堂练习：教材P32练习第4题. 补充练习：求函数

的最大值和最小值. 设计意图：利用最大小值的定义来解决与最值有关的简单问题. 师生活动：

学生：独立练习，必要可讨论. 教师:巡视课堂，收集反馈信息，个别辅导，最后归纳、概括给出规范的解题过程. 补充练习的参考答案: 函数

的最大值为

,最小值为0. 教学内容：系统小结. 设计意图：让学生构建自己的知识网络.

师生活动: 师生：让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结，得到：

(1)函数最值的定义；

(2)求函数最值的一般方法：

①对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最值；

②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值. 课堂练习：

已知函数

在[2,3]上有最大值5和最小值2，求

a与b的值.(答：a=1,b=0,或a=-1,b=3) 已知函数

,求

的最小值. 求函数

在区间[0,2]上的最值（注：其中

为字母常数,最值表达式用

表示.）. 变式：求函数

在区间[0,2]上的最值.