复习参考题教学设计一等奖

城南实验中学

校内公开课教学设计

专题复习—《导数的零点问题》

授课班级：高三（4）班

授课时间：2018年3月12日上午第一节课

一、数学核心素养与教材分析

导数的零点问题是高中中的高频高点和重难点，往往作为压轴题出现，肩负了有选拔人才责任，在教学中启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学.通过本节课的教学主要培养学生数学建模和数据分析素养. 二、考纲分析

1、导数的概念及其几何意义

2、导数的运算

3、导数在研究函数中的应用

4、生活中的优化问题

三、真题展示

四、教学策略分析

1.研读高考真题，让学生重温真题. 2.掌握高考中零点问题的常见解法，深度挖掘这类题型. 五、教学设计

（1）真题呈现，思路探析

1

例1（2016年全国新课标I）已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点x1,x2是f(x)的两个零点，(I)求a的取值范围；

(II)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22. 【解析】当x=1时，f(1)=-e,故x=1不是函数函数f(x)的零点。

当x0时，令f(x)=0,得ax2xe. 2(x1)2x4x5x设g(x)x22ex，则g(x)e，当x(,1)时，g(x)0

2(x1)(x1)（1，+）（-,1）当x(1,)时，g(x)0，所以g(x)在单调递减，在内,g(x)-,x-,g(x)0,单调递增，又g(2)=0,当g(x)<0，又x1

故若函数f(x)有两个零点，所以a>0。

构造函数g(x)f(2x)xexa(x1)2, 再令F(x)f(x)f(2x)(2x2)ex(x1)，易知当x>1时，F(x)>0, 不妨设x21x1，若f(x2)g(x3)f(2x1)=0,则x2x32x1

故x1x22。

【设计意图】从上述导数问题的求解可以发现采用将问题转化为两个分问题进行研究，首先通过导数研究原函数的图像，得到关于x=1对称函数，从而构造新的函数，使问题更为直接、简单。下面我们将此类题型进行合理变形，深度挖掘。

（2）试题衔接，探究再析

例2（2018年山东济南市高三一模）已知函数f(x)axlnx(aR)

2

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)有两个零点x1,x2，证明【解析】试题解析：1）f(x)a112. lnx1lnx21ax1(x0)

xx当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0,)上单调递增；

当a0时，f(x)0，解得x1

a11所以f(x)在(0,)单调递减；f(x)在(,)单调递减

aa综上：当a0时，f(x)在(0,)上单调递减，无单调递增区间；

11当a0时，f(x)在(0,)单调递减；f(x)在(,)单调递减。

aa

1111111（2）222a(令t)t1t22a

lnx1lnx2ax1ax2x1x2xaa1

lnt(aR)，F(t)2,ttt函数F(t)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增令F(t)aln(2at)(at2a)

2a-taaln(2at)lnt(at2a)

构造函数H(t)G(t)F(t)2att令G(t)F(2a-t)（a1）t2a22aat1H(t)20

2(2at)tH(t)在（a,2a）为单增函数H(t)H(a)0

F(t1)F(t2)G(t3)t1t32a,t2t3即t1t22a

故得证。

【设计意图】上述的证明问题，我们通过巧妙的变形，深度挖掘，将问题转化为例1的零点证明问题，首先通过导数研究原函数的图像，得到关于x=a对称函数，从而构造新的函数，使问题更为直接、简单。当然本题还可以用更加简单方法进行证明。

（3）归纳总结，深度挖掘

3

例3（2018年安徽省芜湖市高三一模）已知函数f(x)lnxxm(m2,)

1（1）求函数f(x)在[,e]的最小值；

e（2）设x1,x2是函数f(x)的两个零点，且x1x2，证明：x1.x21.

【解析】试题解析：1）f(x)1-x(x0),x1

x当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,)上单调递增；

当x(1,)时，f(x)0，所以f(x)在(0,)上单调递减；

1111且f()1m,f(e)1em，因f()f(e)2e0

eeee1函数f(x)在[,e]的最小值为1em。

e（2）x1x21lnx1lnx20（令tlnx）t1t20

令函数令g(t)ettm有两个零点令t1,t2

g(t)et1

(0,)为单减函数, 易知函数令g(t)在(,0)为单增函数，在令F(t)h(t)-g(t)-e-tet2t(t0)

F(t)etet20

F(t)在（0,）为单增函数，故F(t)F(0)0

当g(t2h(t3),t2t3

t1t30，

t1t20，

故得证。

例4(蚌埠市2018届高三二模)已知函数f(x)exax2(aR)有两个极值点

（1）若a的取值范围；

（2）若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，证明：x1.x21.

证明

略

4

五、归纳总结

运用导数解决函数的零点是高考中的最重要考点，我们进行巧妙变形，分析问题，将问题进行转化，深度挖掘，归纳总结成具体化的一类问题；在教学过程中采用探究的分析方式来转化问题并不是无目的、无意识的，它是建立在学生充分掌握知识点、全面认识问题的基础之上，这就要求学生在平在的学习备考中从基础入手，围绕教材，巩固知识，深度挖掘，建立体系，有效提升学生的逻辑推理数学核心素养。

六、作业

七、板书设计

导数的零点问题

例1

例2 八、教学反思

例3

例4 5