探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀教学设计

互为反函数的两个图象之间的关系

一.教材地位和作用：

《互为反函数的两个函数图象之间的关系》是新课程标准人教A版必修一中课后探究与发现的内容，本课是在学生已经学习了指数函数和对数函数的性质图象之后，教材独立抽出的探究内容，虽位于教材的课后探究部分，但地位不容忽视，它承接了指数函数和对数函数性质的运用，又在其基础上加深了推导和联系，同时，本节内容为后期学习与导函数有关的距离问题中起到铺垫作用，是连接指数函数、对数函数与导数的一个衔接点，在高考中的地位不容忽视.

二.教学目标：

（1）知识与技能目标：了解互为反函数的两个函数图象之间的关系，并且能利用这一关系解决求参数，定义域和值域的问题. （2）过程与方法：由特殊例子出发，经过教师的引导，让学生探索得到互为反函数的两个函数图象间的关系，并在此过程中渗透数形结合的思想. （3）情感态度与价值观：通过探究互为反函数的两个函数图象之间的关系的过程，让学生体会用数形结合的方法解决数学问题的重要性，并感受数学的对称美，进而激发学生学习数学的兴趣.

三.重点和难点：

（1）重点：互为反函数的两个函数图象之间的关系，原函数与反函数的几个重要性质的推导和应用. （2）难点：原函数的定义域和值域之间的关系的推导和运用.

四.学情分析：

学生在学习了指数函数和对数函数的图象和性质之后，对不同的函数图象的性质和特征有了一定的了解，但知识层面还停留在单一的指数函数或者对数函数的图象的阶段，还不能够准确的探究归纳出两种图象之间的联系，所以，数形结合的思想和归纳概括、总结新知识的能力还有待训练，同时，运用图象来解决难题的方法有待学习和提高.

五.教学方法：

引导、合作探究法

六.教学过程：

1.温故知新

（1）反函数存在性的判断：只有一一映射的函数才具有反函数，也就是一个y对应一个x的函数才具有反函数. 教师活动：板书本课标题，并通过微课小视屏复习知识点—反函数的存在性判断的方法. 学生活动：同教师一起复习回顾上节课所学的知识，快速回想判断一个函数是否存在反函数的方法，并通过视屏来检验自己上节课所学成果.

（2）求一个函数（原函数）的反函数的步骤：①反解x②互换自变量x与因变量y的位置③写出反函数的定义域.

教师活动：抽学生口答求原函数的反函数的三步骤，并根据学生的回答情况给予反馈.

学生活动：积极回答老师的问题，假如有问题的同学可以快速参考上节课所做的课堂笔记.

2.提出问题

（1）探究：求一次函数y3x2的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系. 解：

第一步：反解x，

由y3x2知，xy2，

3第二步：互换自变量x与因变量y的位置，

把xy2x2互换位置后可以得到y，

33第三步：写出反函数的定义域，

所以，原函数的反函数为y

x2，xR. 3

（2）探究：求指数函数y2x的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系. 第一步：反解x，

由y2x知，xlog2y，

第二步：互换自变量x与因变量y的位置，

把xlog2y互换位置后可以得到ylog2x，

第三步：写出反函数的定义域，

所以，原函数的反函数为ylog2x，x0.

3.探究新知

（1）思考：根据坐标纸上的两个函数图象，思考是否原函数的图象过点(a,b)，反函数的图象就过点(b,a)？为什么？

学生活动：小组讨论，探究思考老师提出的问题，并积极交流，共享方法.

教师解答：由上一节课所学的知识，已知原函数的解析式，求其反函数的过程

知存在对应关系：

对于yf(x)的自变量x取xa时，函数值yf(x)b，所以曲线yf(x)过点(a,b)；

对于yf1(x)，x取xb时，f1(x)ya，所以曲线yf1(x)一定过点(b,a).

性质一：若原函数yf(x)的图象过点(a,b)，则反函数yf1(x)的图象必过点(b,a).

例1：已知（1,2）既在yaxb的图象上，又在其反函数的图象上，求a、b的值. 解：由（1,2）在yaxb反函数的图象上，知（2,1）在yaxb的图象上，

又因为点（1,2）在yaxb的图象上，

f(1)2ab2

所以，解得a3,b7. ,即f(2)12ab1

例2：已知函数f(x)axb的图象经过点（1,7），其反函数的图象经过点（4,0），则f(x)的表达式为

. 解：由（4，0）在f(x)axb反函数的图象上，知（0,4）在f(x)axb的图象上，

又因为点（1,7）在f(x)axb的图象上，

f(1)7ab7所以，即0，解得a4,b3，

f(0)4ab4综上，f(x)4x3.

课堂练习：

2变式训练1：已知yf(x)在定义域(,0)内存在反函数，且f(x1)x2x，求f11()的值. 3

变式训练2：已知函数f(x)loga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（1，4），求a的值.

性质二：若原函数yf(x)的定义域是A，值域为C，则反函数yf例3：设函数f(x)1(x)的定义域是C，值域为A.

x22x3,x,1，则f1(x)的定义域为（

）

A.0，

B.(2,)

C.，1

D.2，

例4：求函数y5x8的值域.（利用原函数与反函数的性质来求）

3x2答案：yy

53

课堂练习：

变式训练3：已知函数f(x)a2c与g(x)1(c0)互为反函数，求a,b,c的值. xbx3解：因为f(x),g(x)互为反函数，所以f(x),g(x)的定义域和值域相反，

2的定义域为xxR且xb，值域为yyR且ya，

xbc

另一方面，g(x)1的定义域为xxR，且x3，值域为yyR且y1，

x32

所以，a3,b1，则f(x)3，函数f(x)过(0,5)，则g(x)过(5,0)，

x1c0，解得c2.

所以153

一方面，f(x)a

综上，a3,b1,c2.

性质三：原函数yf(x)的图象与反函数yf例5：设点P在曲线y1(x)的图象关于直线yx对称.

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上

，则PQ的最小值为（

）

221ln2）A.1ln2

B.（

21ln2）

C.1ln2

D.（

变式训练4：设f(x)

解：因为y12x1，又函数g(x)与yf(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的值. 1x12x1xx1y11，则x，所以f(x)，则f(x1). 1xx2x3y21又因为函数g(x)与yf所以函数g(x)与yf

令1(x1)的图象关于yx对称，

(x1)互为反函数，

x2，即x2x6，解得x2，由原函数与反函数的性质可知，

x3

g(2)2.

4.课堂小结：

由学生归纳总结本节课的内容：

（1）复习回顾原函数和反函数的图象得出的过程；

（2）归纳概括原函数与反函数的图象之间的关系；

（3）熟记原函数和导函数的图象之间的三个性质.

5.板书设计：