复习参考题名师教学设计1

第三章

基本初等函数（Ⅰ）

一、指数和指数函数

①指数

1、定义：a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。规定：aa

2、整数指数幂的运算法则：

aaa

amnmnn1mnamma

namnmn,a0

abambm

amnn

规定：a01，a0；a21a0

na3、平方根：如果xa，则x叫做a的平方根

当a0时，有两个平方根，互为相反数，记作：a（a为算术平方根）

当a0时，00

当a0时，在实数范围内没有平方根

立方根：如果xa，则x叫做a的立方根（或三次方根）

在实数范围内a只有一个立方根，记作3a

举例382，382，3311

273，则x叫做a的n次方根

n次方根：如果xna（aR,n1,nN）注意：（1）偶次方根：

正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：na,na,

（a0,a为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在

（2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为na

（3）算术根：

正数的正n次方根叫做的a的n次算术根

4、根式：当na有意义时，na叫做根式，n叫做根指数

5、根式性质：（1）anna, n为奇数（2）a

an1,nN；a, n为偶数nn6、分数指数幂性质：（1）a11m（2）aananmnmn1nnaa0；

maa,a0；（3）anmmn1amn1nam

②指数函数

1、定义：一般地，函数yax，a0,a1叫做指数函数。

2、指数函数的特征：（1）自变量在指数位置上；

（2）系数为1，底数a0,a1，如y2ax

不是指数函数

3、函数图像性质：

定义域

图像

值域

奇偶性

过定点

单调性

指数函数yax，a0,a1的图像性质

R

a1

y 0a1

y 1 1 0 x 0 x

0,

既不是奇函数也不是偶函数

0,1

a1

0a1

在R上是增函数

函数值与1

比较

x0时，y1

0x1时，0y1

在R上是减函数

x0时，0y1

0x1时，y1

图像与底数在y轴右侧，底数a越大，图像弯向y轴

a的关系

4、底数性质探究：

作直线x1，与四个函数图像均有一个交点，

y=ax111098并且交点的纵坐标依次为c,d,a,b

观察图像即可得到大小关系为

cd1ab

y=bx7y=cxy=dx654321-8-6-4-2-1246810-2

★经典例题：

0.30.3例一、三个数1,0.3,2的大小顺序是

【0.312】

22解：0.30.09，又知道y2x为增函数，当x0时，y1。

0.3

故当x0.30时，y1，即0.312。

22

例二、不等式3x113x2的解集是

【xx】

121解：3x231x23x2，原式可化简为3x13x2

由于y3x是增函数，故函数值大的自变量也大，即x1x2

解得x

例三、函数y1

22x12的定义域为

【xx2】

解：根据定义要求，偶次方根下被开方数大于等于零，得到

2x1202x121，由于y2x是增函数，故x11，即x2

1-2710例四、求值：（1）(0.027)(-)(2)2(2-1)

79211134432xy3xy

（2）24xy33131-2710解：（1）(0.027)(-)(2)2(2-1)

7913510.34913

1054914533211121334432xy3xy1121227x44y32733273yy

（2）22224xy34xy33

例五、已知xx解：

由于xx

再将xx112123，则xx1= ；x2x2 = 【11；119】

12123，两边平方得到x1x129x1x111

11，两边平方得到x2x22121x2x2119

1

二、对数和对数函数

①对数

1、定义：指数函数yaxa0,a1中，对于R内的每一个值x，在正实数集R内都有唯一的y值和它对应，反之，对于正实数集R内每一个确定的值y，在R内都有唯一确定的值x和它对应，幂指数x，又叫以a为底y的对数。

2、对数与指数的互化：

一般地，对于指数式aN，把“以a为底N的对数”，记作logaN

即：aNlogaNb，a0,a1

bba为对数的底数，N叫做真数

logaNb

“a的b次方等于N”

对数式是指数式的另一种表达形式

指数

对数

Nab

logaNb

底数

幂

真数

3、对数恒等式：alogaNN，a0,a1，N0

4、对数的性质：

（1）0和负数没有对数：N0

0（2）1的对数为0：

loga10a1

1（3）底的对数等于1：logaa1aa

5、常用对数：以10为底的对数log10a，简记为lga

以e为底的对数logea，简记为lna

6、对数运算法则：（1）logaMNlogaMlogaN

推广：logaN1N2NklogaN1logaN2logaNk

（2）logaMlogaMlogaN；（3）logaMlogaM（推广：logaMlogaM）

N7、换底公式：logbN②对数函数

logaN

logab1、对数函数定义：一般地，函数ylogax，a0,a1叫做对数函数。

2、对数函数的特征：（1）自变量在真数位置上；（2）底数a0,a1，真数大于0 3、对数函数的图像特征：

定义域

图像

对数函数ylogax，a0,a1的图像性质

0,

a1

y

0 1 x

R

既不是奇函数也不是偶函数

0a1

y 0 1 x

值域

奇偶性

过定点

单调性

1,0

a1

0a1

在R上是增函数

函数值与1

比较

x1时，y0

0x1时，y0

在R上是减函数

x1时，y0

0x1时，y0

图像与底数在x轴右侧，底数a越大，图像弯向x轴

a的关系

底数性质研究：

③指数函数和对数函数的关系

反函数定义：当一个函数是一一映射时，把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，把这个函数的自变量作为新函数的因变量，称这两个函数互为反函数

yfx的反函数通常用yf1x表示

性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域

（2）若点a,b在原函数yfx，则点b,a在反函数yf

（3）图像关于直线yx对称

1x上

★经典例题：

例一、lg22lg4lg5lg25的值等于

【1】

解：lg22lg4lg5lg25lg22lg22lg5lg25lg222lg2lg5lg25

lg2lg5lg251

例二、（1）求值log4log3(log28) 【0】

（2）若log2log3(log5x)0，求x值 【125】

解：（1）log4log3(log28)log4log33log410

（2）log2log3(log5x)0log3log5x1log5x3x125

例三、log23log94的值为 【1】

22lg3lg4lg3lg22lg32lg2解：log23log941

lg2lg9lg2lg32lg22lg3

例四、求值log5352log122log51log5145log53 【5】

50解：log5352log122log51log5145log53

501log535log1222log550log5143

3550log51332514

例五、求下列函数的定义域：（1）f(x)=log(2x7)3-x；（2）fx1log2x1

解：（1）满足2x70;3x0;2x71，解得x7x3且x3

2

（2）满足x10;1log2x0，即x1;log2x1log22x2

解得x1x2



例六、已知log1blog1alog1c，则( ) 【A】

2bac2a2bccbacab(A) 222；

(B) 222； (C) 222 (D) 222

解：由于ylog1x是减函数，又有log1blog1alog1c

222ba2c故bac，而y2x是R上的增函数，则222。

例七、求实数x的取值范围：（1）log0.62xlog0.6x1

（2）log2(x-1)?2log2(x+1)

解：（1）由于ylog0.6x在定义域内是减函数，故函数值小的，自变量反而大

即2xx1x1

（2）log2(x-1)?2log2(x+1)可化简为log2(x-1)+log2(x+1)?2

log24，由于ylog2x是增函数

即log2轾(x-1)(x+1)?2臌

所以(x-1)(x+1)侈4

x2-5?0，即xx5,x5

1x的奇偶性

1x1x0x1x101x1关于原点对称

解：函数的定义域为1x例八、判断函数f(x)=lg1x1x1xf(-x)=lglglgfx，即该函数为奇函数

1x1x1x

例九、判断alog3,blog76,clog20.8的大小关系

解：y1log3x;y2log7x;y3log2x均为定义域上的增函数

由于3，故log31；而167，则0log761

但00.81，则log20.80。

因此cba

例十、函数ylog2x1x8的值域是

【0,3】

由于ylog2x在定义域上为单调递增函数，故将端点值代入即得到值域为0,3

1

例十一、指数函数y3x的反函数为f1x，则f13

【1】

2解：y3x的反函数为ylog3x，即f1xlog3x

f13log331

2

三、幂函数

1、幂函数的概念：yxR

自变量在底数上（注意与指数函数比较）；x的系数为1 2、幂函数图像性质：

yxR在第一象限中的图像性质

在0,上都有意义，都过点1,1

0

过原点，在0,上是增函数

1

图像为立式

图像为卧式

01

0

不过原点，在0,上是减函数

图像为坐式

x轴y轴为渐近线

其他象限中的图像性质根据奇偶性来画出和得出

★经典例题：

例一、比较大小1.1

1.4

；3解：对于函数yx，由于34343423

1.7323

【,】

3430，故函数为增函数

434由题知1.11.4，则1.11.4

对于函数yx23，由于20，故函数为减函数

3由题知31.73，故3231.73

23

11例二、若函数fx12mx为幂函数，且f4，则fx

【fxx2】

2解：由于函数fx12mx为幂函数，则要求12m1m0

又f4111，则4，故

22212该函数为fxx

四、图像变换

图像变换

1．

平移变换a0,b0

yfxyfxa；

yfxyfxa

左加右减----------------------在自变量x上的平移量

yfxyfxb；

yfxyfxb

上加下减-----------------------在y的异侧

注意：所有平移变换，都是在x上变化，如有倍数，需提出倍数，还原x，再平移。

2．

对称变换

yfx与yfx图像关于

y轴

对称；

yfx与yfx图像关于

x轴

对称

yfx与yfx图像关于

原点

对称；

yfx与yf1x图像关于

yx

对称

3．

翻折变换

yfxyfx

函数值小于零的部分沿着x轴翻着到轴上方，轴下方原有图像擦去不要

fx x0

yfxyfxfx

x0自变量大于零的部分沿着y轴翻着到轴左方，轴左方原有图像擦去不要

★经典例题：

例一、将函数yx2x的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为

【yx25x7】

11解：对yx2x化简整理得到yx

24

由题知，图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，即x2，y1

211得到yx21x25x7

24

x21例二、作出y的图像

2解：