习题3.1优质课教案设计

方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．

问题1 你会求哪些类型的方程的根？请举实例说明

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x－2x－3＝0与函数y＝x－2x－3；

(2)方程x－2x＋1＝0与函数y＝x－2x＋1；

(3)方程x－2x＋3＝0与函数y＝x－2x＋3. 问题2 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？

方 程

函 数

222222x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

方程的实数根

函数图像

函数的图象与轴的交点

问题 3 方程的根与相应函数图象有什么关系？

[知识链接]

1

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．等价关系；

___________________⇔__________________ ⇔___________________________________;

针对练习

求函数的零点

(1)函数yx1的零点是（ ）A.(1,0) B.(0,1) C.0 D.1（2）下列哪些函数存在零点（ ）1A.y= B.y=x-1, x[2,3] C.y=2x D.y=x+1x(3)函数f(x)=2x1的零点是______g(x)lg(x1)的零点是________.(4)函数f(x)的图像如右图。其零点是_______.

规律方法:

探讨零点存在性定理

问题4 在什么情况下，函数f(x)在区间（a , b）一定存在零点？

2

情景探究：

结论：

问题探究：是不是函数y=fx在区间[a，b]上只要满足fa·fb<0，它在(a，b)上一定有零点？若没有，请用函数图象举出反例。

结论：

[知识链接] 3．函数零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ,这个c也就是方程f(x)＝0的根．

针对训练：

课堂总结：

课后练习：

用零点存在性定理判断下列函数在给定区间上是否存在零点：例题：f(x)lnx2x6,x[2,3]练习：（1）f(x)=x3x1,x[1,2](2)f(x)2x3x,x[1,0]

3

判断函数零点所在区间

1. 已知

函数f(x)的图象是连续不断的

，有如下x

，f(x)对应表：

x

f(x) 1 23 2 9 3 -7

4 11 5 -5 6 -12 7 -26 则函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个A.5 B.4 C.3 D.2x2．函数f(x)＝e＋x－2所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 3.若a＜b＜c，则函数f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）的两个零点分别位于区间（ ）

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内 2

4.方程lnx必有一个根的区间是( )x

A.(1,2) B.(2,3) C.(1,1) D.(3,)e5. 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（ ）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且有零点.，则f(a)· f(b)<0.（ ） （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ）

16.求函数f(x)()xlnx的零点的个数.

2

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