3.1.1 分指数函数名师教学设计

2.2

指数函数

2.2.1

分数指数幂

教学目标

1.理解根式的概念，掌握n次方根的性质.

2.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义.

3.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用公式进行有理数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.

4.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充和不断完善的过程，使学生深深体会认识客观世界的一般规律是呈不断上升的趋势，认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的. 重点难点

教学重点：

正确理解根式以及分数指数幂的概念，根式与分数指数幂的互化，运用分数指数幂进行简单的运算.

教学难点：

根式的概念以及分数指数幂的意义. 导入新课

设计思路一(复习导入)

在初中我们已经学过平方根和立方根的概念，我们复***方根和立方根的概念. 平方根的概念：如果x2=a，那么我们称x为a的平方根；如果x3=a，那么我们称x为a的立方根.

相仿地，我们就有n次实数方根的概念.

设计思路二(问题导入)

在日常生活中，衣服用去污剂洗过以后，要用清水漂洗.假如每次清水漂洗能漂去残留去污剂量的3，写出残留去污剂量y与漂洗次数x的函数关系式.若要使残留去污剂量不超43x1x)=()，使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，至少44过漂洗前的1％，则至少要漂洗多少次？

(答案：函数关系式是：y=(1-漂洗4次) 推进新课

新知探究

根据引入，可以得到如下n次实数方根的概念：

一般地，如果一个实数x满足xn=a(n＞1,n∈N*)，那么我们称x为a的n次实数方根(nth root).

当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数.这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na，例如，23=82=38;(-3)3=-27-3=327;b5=7b=57.

当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示.正数a的n次实数方根我

们可以把它们合并而写成±na(a＞0)的形式，例如，

x4=4x=±44;y2=3y=±3.

特别需要注意的是，当a等于0时，0的n次实数方根等于0.

我们把式子na叫做根式(radical)，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

对于根式，我们要注意以下几点：

(1)关于n次实数方根的定义：n次实数方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，将n次实数方根的概念与平方根、立方根的概念进行对比，不难发现：

①在实数范围内，正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数，零的奇数次方根是零，设a∈R，n是大于1的奇数，则a的n次方根是na.

②在实数范围内，正数的偶数次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的奇数次方根是零，负数的偶数次方根没有意义.设a≥0，n是大于1的偶数，则a的n次方根是±na.

(2)开方与乘方：求a的n次方根的运算叫做开方，开方运算与乘方运算是互为逆运算，不能把开方运算与乘方运算混为一谈.例如:求2的四次方，其运算结果是24=16，而求2的四次方根，其运算结果是±42. 应用示例

例1

求下列各式的值：

32

(1)3(-6)；(2)(-7)；

42

(3)4(3-p)；(4)(a-b)(b＞a).

分析：根式的求值，通常从根式的性质入手. 32

解：(1)3(-6)=-6;(2)(-7)=|-7|=7; 42

(3)4(3)=|3-π|=π-3;(4)(ab)=|a-b|=b-a(b＞a).

点评：根式的求值与化简，通常都是运用根式的运算性质：当n为奇数时，na=a；当n为偶数时，a=|a|=nnna,a0,一般来说，根指数n为奇数时比较简单，而根指数na,a0.nn为偶数时很容易出现错误，为了避免错误的产生，可以先写成a=|a|，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号. 22

例2

化简x2xyy.

分析：通过观察根式中的被开方式x2+2xy+y2是一个完全平方式，因此可以先将x2+2xy+y2转化为完全平方，再来根据根式的意义求解.

2

解：x+2xy+y22=(x+y)=|x+y|=íìïx+y,(x+y?0),

ïî-x-y,(x+y<0).

点评：因为(x+y)2是开平方，所以根据根式的意义，注意讨论x＋y的正负. 练习：

化简下列各式：

(1)yx; xy2

(2)(a+2);

(3)5-26+7-43-6-42.

分析：注意观察所给题目的特征，运用根式的性质来解题.另外化简的方向是脱去根号，方法是配方，而且配方的方法也是脱去根号的常用的技巧与手段.

解：(1)yxxyyx=1. xy2

(2)(a2)=|a+2|=a2,(a2),

a2,(a2).

(3)526743642

=(32)(23)(22)

=|32||23||22|

=(32)(23)(22)

=0.

点评：(1)在解有关根式的问题时，注意体会根式的运算性质：当n为奇数时，na=a；当n为偶数时，a=|a|=nn222na,a0,同时与(na)n=a进行比较，并且加以区别，不能将二a,a0,者混为一谈.

(2)解题中运用的配方的技巧适用的范围十分广泛，掌握并能熟练地运用这一技巧，从而提高运算能力. 练习2

已知4x2－4x－15≤0，化简：4x12x94x20x25.

分析：通过已知条件4x2－4x－15≤0，求出x的范围，再运用配方的方法以及完全平方公式等来求解.

解：∵4x2－4x－15≤0,∴－2

∴4x12x92235≤x≤,∴2x＋3≥0,2x－5≤0,

224x220x25(2x3)2(2x5)2＝|2x＋3|＋|2x－5|

＝2x＋3＋5－2x＝8.

点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，这种题型的一般解题方法是：先求出已知条件对字母的限制范围，在此字母的限制范围内，再依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论. 补充练习：

2

1.已知a、b∈R,则等式(a-b)·(ab)＝－(b－a)2成立的条件是(

)

A.a＞b

B.a＜b

C.a＝b

D.a≤b

2.下列运算正确的是(

)

A.(－a2)3＝(－a3)2

B.(－a2)3＝－a5

C.(－a2)3＝a5

D.(－a2)3＝－a6

3.设n∈N*,则1[1－(－1)n](n2－1)的值(

) 8

A.一定是零

B.一定是偶数

C.是整数但不一定是偶数

D.不一定是整数

4.若102x＝25，则10-x等于(

)

A.-1111

B.

C.

D.

5625505

5.526526=________________.

6.已知实数a、b在数轴上所对应的点分别为A(在原点的左边)、B(在原点的右边)，则a2b2(ab)2＝___________.

7.已知3a＝2，3b＝5，则32ab＝______________. 课堂小结

1.本节课的主要内容是根式及根式的运算性质.要求掌握的知识内容比较简单，只要能准确理解根式的概念和掌握根式的运算性质，抓住取值的正负情况，有关根式的问题就能很便捷地解决. －

2.根式的运算性质中，当n为偶数时，常常将na先写成|a|的形式，然后再根据a的正负来确定运算结果，如果a的正负情况不确定，就必须根据a的正负情况进行分类讨论.

3.配方、分母有理化是解决根式的求值和化简等问题时常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想方法.

作业

课本第48页习题2.2(1)

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