3.4.2 函数模型及其应用教案和课堂实录

3.4.2函数模型及其应用（第一课时）

教学目标：

1．知识与技能：(1)掌握一次函数模型和二次函数模型的应用，解决较简单的实际问题．

(2)能应用指数型函数模型解决实际问题，提升学生解决简单的实际问题的能力．

2．过程与方法：(1)经历运用一次函数和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力．(2)经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．

3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．

教学重点：一次函数模型和二次函数模型、指数函数模型的应用．

教学难点：依据题设情境，建立函数模型．

教学过程：

一．知识要点: 常见的几种函数模型

1．一次函数模型：y＝____________．2．反比例函数模型：y＝__________．

3．二次函数模型：y＝________________．

4．指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)．

5．对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)．

6．幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．

7．分段函数模型．

二．例题精讲: 类型一：一次函数模型

例1：某计算机集团公司生产某型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为300元，每台计算机的售价为5000元.请写出总成本C(单位：万元) 、单位成本P(单位：万元)、销售收入R（单位：万元）、利润L（单位：万元）关于总量x（台）的函数关系式.

【变式】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图1所示．

图1 (1)求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？

类型二：二次函数模型

例2：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x). 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)3000x

20x2（单位：元），，其成本函数为C(x)500x4000（单位：元），利润是收

入与成本之差. （1）求利润函数P(x)与边际利润函数MP(x). （2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？

【变式1】有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），

则围成的矩形最大面积为 _____（围墙厚度不计）

【变式2】有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和

x3Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有以下公式：P＝5，Q＝5x，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？

类型二：指数函数模型

例3：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度

1TTTT是T0，经过一定时间t后的温度是T，则

o，其中T表

2示环境温度，称

h为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房

间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间（结

果精确到0.1)？

th

【变式】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%，1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%，用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候是1970年的2倍？

三．思考题：

某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图2所示的曲线．

图2 (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．

四．课堂小结：

五．课后作业：课本100页

练习

1、2、3