3.4.1 函数与方程教学实录与评析

《方程的根与函数的零点》教学设计

一、教学目标：1、掌握函数零点的定义，了解函数的零点与方程根的联系；

2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点。

二、教学重点：1、函数的零点与方程根之间的联系；

2、零点存在的判定条件. 三、教学难点：零点存在的判定条件.

四、教学过程：

(一)创设情景，引入课题

1、提出问题：方程的根与函数的图像之间有什么关系？

2．先来观察下面的例子：

方程x22x30与函数yx22x3

问题1

求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；

方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

问题2

观察形式上函数y＝x2－2x－3与相应方程x2－2x－3＝0的联系。

函数y＝0时的表达式就是方程x2－2x－3＝0。

问题3

由于形式上的联系，则方程x2－2x－3＝0的实数根在函数y＝x2－2x－3的图象中如何体现？

y＝0即为x轴，所以方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程的实数根与函数图象之间的关系。初步理解零点是连接函数与方程的结点。

（二）互动交流 研讨新知

1．函数零点的概念：对于函数yf(x)，把使f(x)0成立的实数叫做函数yf(x)的零点．(强调零点不是点）进而给出方程的根和函数的零点以及函数的图像和轴交点的横坐标之间的关系;

x0是方程fx0的实数根函数yfx的图象与x轴有交点（x0,0）x0是函数yfx的零点2．练习：求下列函数的零点 yx24x4；yx24x3

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察上述二次函数f(x)x22x3的图象，回答下列问题：

①

在区间[2,1]上有零点______；f(1)_______,．f(2)·f(1)_____0（＜或＞＝）

f(2)_______，②

在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象，回答下列问题：

①

在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）．

②

在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）．

③

在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

一般地，我们有：

如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根．

注：零点存在条件的理解：

（1）函数具备哪些条件，才能确定有零点；

（2）如果函数具备上述条件，函数有几个零点？

（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？

（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？

（5）若函数在a,b内有零点，一定有f（a）·f（b）<0吗？

（6）再加什么条件，函数零点的个数就唯一呢？

上述六个问题和下面四个函数图像加深了学生对零点存在条件的理解和认识。

abababab

（三）新知应用

例1.求函数fxlnx2x6的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x，

1 2 3 4 的对应值表和图象。

5

5.6 6 7 8 12.1 9 14.2 -4.0 -1.3 1.1

3.4

7.8

9.9 由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则f2f30，这说明函数fx在区间

（2，3）内有零点。结合函数fx的单调性，进而说明fx零点是唯一的．

思考：若上述函数的零点x0n,n1nZ，则n的取值为多少？

设计意图：初步应用零点的存在条件来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x，fx的对应值表，来寻找函数值异号的区间，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。

（四）课堂练习

1. 求函数yx32x2x2的零点所在区间，并画出它的大致图象. 2. 求下列函数的零点：①

、yx25x4； ②、y(x1)(x23x1)；

3.已知f(x)2(m1)x24mx2m1：

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

（五）小结：

1、先引导由学生陈述这节课的主要收获；

2、老师再从数学思想和数学方法两方面总结这节课的主要知识点和重点题目类型。

设计意图：锻炼学生总结问题的能力，提高学生学习数学的兴趣，让更多的学生参与到课堂教学中。