2.2.1 函数的单调性教案1

函数的单调性（一轮复习）

教学设计

一、教学内容与学情

本节课教学内容是高中数学一轮总复习函数第三课时（总计第六课时），之前已经复习了集合与逻辑用语（3课时），函数的概念（1课时），函数的定义域、值域（1课时），函数性质第一课时。教学对象为普通四星级高中生，他们对区间表示函数性质、常见导数求导公式及运算法则有所了解，但记忆模糊，特别是规范的符号表示及严密的逻辑关系很是生疏。所用教材“链接高考---一轮总复习”。

二、教学目标

（1）考纲：函数单调性（B级）；

（2）理解函数单调性及其几何意义，会判断一些简单函数单调性；

（3）体会数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想。

三、教学重、难点

（1）重点：函数单调性的判断（证明）及简单应用；

（2）难点：函数单调性的判断（证明）及简单应用。

四、教学方法

导学单、多媒体、问题串

五、教学过程

（1）预备单（一）

1、函数y(2k1)xb在(,)上是减函数，则实数k的取值范围是________．

2、若函数f(x)4x2mx5在2,上单调递增，在,2上单调递减，则f(1)＝________．

3、已知f(x)mxxm2在(,2)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

设计意图：课前独立完成，通过实例回顾基本初等函数（一次、二次、反比例、指数、对数、幂、三角等函数单调性），从学生认知的最近发展区出发，激发学习热情。

2（2）活动单

题型1

函数单调性的判断

例1：判断函数f(x)

变式：判断函数f(x)exxa(a0)在a,上的单调性，并证明．

1在区间(0,)上的单调性．

xe

【方法归类】

1、函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间．如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．

2、判断函数单调性的方法有：定义法、图象法、导数法或利用已知函数的单调性．证明函数的单调性的方法有：定义法、导数法．

3、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．

设计意图：探寻判断函数单调性方法（证明方向），体会数形结合的数学思想。

例2

求下列函数的单调区间：

(1)f(x)x22x；(2) f(x)a34xx(a0,且a1)．

变式：已知函数f(x)log2(x22x3)，则使f(x)为减函数的区间是________．

【方法归类】

1、简单函数单调性的判断方法：

(1) 定义法；

(2) 图象法；

(3) 导数法；

(4) 利用函数的运算性质：在公共定义域内，如若f(x)、g(x)为增函数，则①f(x)＋g(x)为增1函数；②为减函数(f(x)>0)；③f（x）为增函数(f(x)≥0)；④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，f（x）g(x)>0)；⑤－f(x)为减函数．

2、复合函数y＝f[g(x)]的单调规律：f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]为减函数．简记为“同增异减”．

设计意图：①明确单调性，单调区间的区别，学会规范表述，体会分类讨论数学思想；②

复合函数单调性判断方法。

2

（3）预备单（二）

4、已知f(x)在(,)上是单调递减函数，若f(x1)f(1)0，则x的取值范围是

________.

)满足对于任意的x1,x2(2,2)，都有5、已知yf(x)是定义域为(2,2且f(x1)f(x2)0，若f(m1)f(12m)，则实数m的取值范围是________．

x1x2设计意图：引入函数单调性的简单应用。

（4）活动单

题型2

已知函数的单调性求参数的值或范围

ax1例3：若f(x)在区间(2,)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

x2kx1(kR,k0)．

变式：已知函数f(x)lgx1（1）求函数f(x)的定义域；

（2）若函数f(x)在10,上单调递增，求k的取值范围．

【方法归类】

利用函数的单调性求参数的取值范围，是函数单调性概念的逆运用，常用两种方法：

1、通过分离参数法转化为不等式的恒成立问题来解决，解题时，要注意所有不等式的

2

变形都必须在题设单调区间或函数定义域内进行。

2、求出函数的单调区间，利用子集思想解决问题，注意对可开可闭的区间，逆向问题中应该用闭区间。

设计意图：①

学会求参的常用方法，利用单调性定义的等价形式，体会化归与转化思想，②

导数处理单调性方法。

题型3

函数的单调性与最值

例4：函数f(x)对任意的m,nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. （1）求证：f(x)在R上是增函数；

（2）若f(3)4，解不等式：f(a2a5)2.

x22xa,x1,．

变式：已知函数f(x)x1（1）当a时，求f(x)的最小值；

2（2）若对任意x1,,f(x)0恒成立，求实数a的取值范围．

【方法归类】

1、抽象函数的单调性只能借助于单调性的定义以及所给抽象等式进行代数运算．

2、利用单调性比较大小时，要注意将数值转化为函数值以及定义域的限制．

设计意图：抽象函数单调性的判断及证明只能借助于定义

（5）课堂小结

收获：

感悟：

疑惑：

设计意图：及时总结，明确各类函数单调性的判断及证明的最优解法，感知数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想的应用，同时大胆质疑，提升思维能力。

六、教学反思

（1）题量偏大，课上明显有赶进度的迹象。

（2）对于细节性问题解释不到位，如yax,yx(a0)，函数单调性结论在大题中x应用是否需要证明（基本初等函数单调性结论可直接使用，其它需证明）。

（3）课堂小结显得匆忙，特别是疑惑，课后学生提出很多，如①f(x),1在2xaa,上f,(x)0，而xa时分母为0怎么办？（函数在某端点处不讨论单调性，故在求导前可给出

xa）②分类讨论思想解题最后结论应是取交集、并集还是分开下结论等（一般讨论对象与所求对象不一致时分开下结论；一致时，若满足其中任意一种情形，则取并集，若需满足所有情形方可则取交集）③对函数单调性及单调区间区别仍理解不透彻（f(x)在a,b单调递增不排除f(x)在其它区间也单调增，而f(x)增区间为a,b意味着

3

f(x)在其它区间不可能单调递增，举例说明，若f(x)x2ax1在2,增，只需aa2即a4，若f(x)x2ax1单调增区间为2,，则2，即a4）。

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